分块初等变换与降阶公式
这一节介绍分块初等变换在求行列式值和求逆的应用
65. 设A是n阶可逆阵，$ α,β$是n维列向量，b是常数，现有分块矩阵
$$ Q=\left(\begin{array}{cccc} A &α\\ β’ &b\\ \end{array}\right) $$
证明：矩阵Q是可逆阵的充要条件是$b≠β’A^{-1}α$
66. (行列式的降阶公式)
设A是m阶矩阵，D是n阶矩阵，B是$m×n$阶矩阵，C是$n×m$阶矩阵，证明： (1) 若A可逆，则 $$ \left|\begin{array}{cccc} A &B\\ C &D\\ \end{array}\right| =|A||D-CA^{-1}B| $$
(2) 若D可逆，则 $$ \left|\begin{array}{cccc} A &B\\ C &D\\ \end{array}\right| =|D||A-BD^{-1}C| $$
(3) 若A,D都可逆，则 $$ |D||A-BD^{-1}C|=|A||D-CA^{-1}B| $$
67. 求下列矩阵的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1}^{2} &a_{1}a_{2}+1 &\cdots &a_{1}a_{n}+1\\ a_{2}^{1}+1 &a_{2}a_{2} &\cdots &a_{2}a_{n}+1\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n}^{2}+1 &a_{n}a_{2}+1 &\cdots &a_{n}a_{2}\\ \end{array}\right) $$
68. 求下列矩阵的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 &2 &3 &\cdots &n\\ 1 &0 &3 &\cdots &n\\ 1 &2 &0 &\dots&n\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ 1 &2 &3 &\cdots &0\\ \end{array}\right) $$
1.33 求下列矩阵的值，其中$a_{i}≠0(1 \le i \le n)$;
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 &a_{1}+a_{2} &\cdots &a_{1}+a_{n}\\ a_{2}+a_{1} &0 &\cdots &a_{2}+a_{n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n}+a_{1} &a_{n}+a_{2} &\cdots &0\\ \end{array}\right) $$
69. 设A,B是n阶矩阵，求证：
$$ \left|\begin{array}{cccc} A &B\\ B &A\\ \end{array}\right| =|A+B||A-B| $$
1.36. 计算
$$ |A|=\left|\begin{array}{cccc} x &y &z &w\\ y &x &w &z\\ z &w &x &y\\ w &z &y &x\\ \end{array}\right| $$
70. 设A,B,C,D都是n阶矩阵，求证：
$$ |M|=\left|\begin{array}{cccc} A &B &C &D\\ B &A &D &C\\ C &D &A &B\\ D &C &A &B\\ \end{array}\right| =|A+B+C+D||A+B-C-D||A-B+C-D||A-B-C+D| $$
71. 设A,B是n阶复矩阵，求证：
$$ \left|\begin{array}{cccc} A &-B\\ B &A \\ \end{array}\right| =|A+iB||A-iB| $$
72. 设A,B是n阶矩阵且AB=BA，求证：
$$ \left|\begin{array}{cccc} A &-B\\ B &A \\ \end{array}\right| =|A^{2}+B^{2}| $$
73. 设A,B是n阶实矩阵，求证：
$$ \left|\begin{array}{cccc} A &-B\\ B &A \\ \end{array}\right| \ge 0 $$
2.55 求下列矩阵的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} x &-y &-z &-w\\ y &x &-w &z\\ z &w &x &-y\\ w &-z &y &x\\ \end{array}\right) $$
74. 已知A和D是可逆阵，求下列分块矩阵的逆阵
$$ \left(\begin{array}{cccc} A &B\\ O &D\\ \end{array}\right) $$