摄动法及其应用
摄动法通过矩阵理论中的常用方法，它利用连续函数的性质将一般矩阵的问题转化为对非异阵的讨论，本节中我们会讲述原理，在伴随矩阵性质的证明应用以及行列式求值的应用
以下的这个命题告诉我们，对任意的n阶矩阵A，经过微小的一维摄动以后，$tI_{n}+A$总能成为一个非异阵
75.设A是一个n阶方阵，求证：存在一个正数n，使得对任意的 $0<t<a$，矩阵$tI_{n}+A$都是非异阵
摄动法的原理
- 证明矩阵问题对非异阵成立；
- 对任意的n阶矩阵A，有上例可知，存在一个有理数列$t_{k} \to 0$，使得这些$t_{k}I_{n}+A$都是非异阵，验证$t_{k}I_{n}+A$仍满足矩阵问题，从而该矩阵问题对$t_{k}I_{n}+A$成立
- 若矩阵问题关于某个$t_{k} $连续，则可取极限令$t_{k} \to 0$，从而得到该问题对一般的矩阵A也成立
小老弟，我警告你啊
- 矩阵问题有两个先决条件，该矩阵问题对非异阵成立和该矩阵问题关于$t_{k}$都连续，这两个条件缺一不可，反例参考7.72
- 验证摄动矩阵仍然满足矩阵问题的条件也是必要的，例如，若矩阵问题中有$AB=-BA$这一条件，但$(t_{k}I_{n}+A)B≠-B(t_{k}I_{n}+A)$，因此无法使用
- 最后根据实际的需要，我们还可以用其他非异阵来代替$I_{n}$，对A进行摄动
伴随矩阵性质
2.36 设A,B为n阶矩阵，求证：$ (AB)^{*}=B^{*}A^{*}$
2.38 设A为n阶矩阵，求证：$|A^{*}|=|A|^{n-1}$
2.39 设A为$n(n \ge 2)$阶矩阵，求证：$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
2.40 设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，求分块对角阵G的伴随矩阵
$$ C=\left(\begin{array}{cccc} A &O\\ O &B\\ \end{array}\right) $$
行列式求值
2.76 设$A,B,C,D$为n阶矩阵且$AC=CA$，求证：
$$ \left|\begin{array}{cccc} A &B\\ C &D\\ \end{array}\right| =|AD-CB| $$
小老弟，我警告你啊
注意：2.76实际上也是可以证明2.72
1.7 设$|A|=|a_{ij}|$是一个n阶行列式矩阵，$A_{ij}$是它的第$(i,j)$元素的代数余子式，求证：
$$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} &x_{1}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} &x_{2}\\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} &x_{n}\\ y_{1} &y_{2} &\cdots &y_{n} &z\\ \end{array}\right) =z|A|-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}x_{i}y_{j} $$