2.3
一共包括加减，数乘，乘法，转置，共轭，特别的，对于方阵还有求幂，多项式，伴随，求逆等运算
7. 若$A,B$都是由非负实数组成的矩阵且$AB$有一行为零，求证：要么$A$，要么$B$有一行为零
8. 求证：上(下)三角阵加减，数乘，乘法(幂)，转置，多项式，伴随，求逆所得的矩阵仍是上下三角阵，并且所得的上(下)三角阵的主对角元是原上(下)三角阵的对角元的加减，数乘，乘法(幂)，转置，多项式，伴随，求逆
9. 求证：
(1) $m×n$ 实矩阵A适合条件$AA’=O$ 的充要条件是$A=O$
(2) $m×n$ 复矩阵A适合条件$A\overline{A}’=O$ 的充要条件是$A=O$
注意：此题也可用迹来处理
10. 求证：任意方阵均可表示成一个对称阵与一个反对称阵之和
注意：这个分解挺重要的，因为可以通过对称阵反对称阵来研究
11. 求证：和所有n阶矩阵乘法可交换的一定是纯量阵$kI_{n}$
12. 计算下列矩阵的k此幂，其中k为正整数
(1) $A=\left (\begin{array}{llll} a &1 &0 \\ 0 &a &1 \\ 0 &0 & a\\ \end{array}\right) $
(2) $A=\left (\begin{array}{llll} 1 &2 &4 \\ 2 &4 &8 \\ 3 &6 &12 \\ \end{array}\right) $
13. 设A是二阶矩阵，若存在$n>2$，使得$A^{n}=0$，求证：$A^{2}=O$
14. 循环矩阵
$$ \left (\begin{array}{llll} a_{1} &a_{2} &a_{3} &\cdots &a_{n} \\ a_{n} &a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n-1} \\ a_{n-1} &a_{n} &a_{1} &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{2} &a_{3} &a_{4} &\cdots &a_{1} \\ \end{array}\right) $$ 求证：同阶循环矩阵的积仍是循环矩阵
15. 设n阶方阵A的每一行的元素之和等于常数$c$
(1) 对任意的正整数$k$，$A^{k}$的每一行元素之和等于$c^{k}$
(2) 若$A$为可逆阵，则$c≠0$且$A^{-1}$的每一行元素之和等于$c^{-1}$
16. 求下列矩阵的逆矩阵
$$ \left (\begin{array}{llll} 0 &1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &0 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &0 &\cdots &1 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ 1 &1 &1 &\cdots &0 \\ \end{array}\right) $$