2.4
判断一个矩阵是可逆阵大概有五种方法，
- 计算行列式的值
- 凑因子法
- 利用线性方程组求解理论判断
- 互素多项式的应用，见5.11节
- 特征值的应用，见6.2节的第五部分
本节介绍前两个
行列式的计算
比如Vandermonde矩阵，在各个元素不相等的时候，它的值非零，则Vandermonde矩阵不为零
17. 设A是非零实矩阵，且$A^{*}=A'$，证明：A是可逆阵
18. 设A是奇数阶矩阵，满足$AA'=I_{n}$，且$\arrowvert A \arrowvert >0$，求证：$I_{n}-A$是奇异阵
19. 设$A,B$为n阶可逆阵，满足$A^{2}=B^{2}$，且$\arrowvert A \arrowvert+\arrowvert B \arrowvert =0$. 求证：$A+B$是奇异阵
凑因子法
说白了就是当某个非具体矩阵满足某个特定关系的时候，我们用一些方法配凑出$AB=I_{n}$的符合条件的逆阵
20. 设n阶方阵A适合等式$A^{2}-3A+2I_{n}=O$，求证：A和$A+I_{n}$都是可逆阵，而若 $A≠I_{n}$，则$A-2I_{n}$必定不是可逆阵
21. 设n阶方阵A和B都满足$A+B=AB$，求证：$I_{n}-A$是可逆阵，且$AB=BA$
22. 设$A,B,AB-I_{n}$都是n阶可逆阵，证明：$A-B^{-1}$与$(A-B^{-1})^{-1}-A^{-1}$均可逆，并求他们的逆矩阵
23. 设A为$m×n$矩阵，B为$n×m$矩阵，使得$I_{m}+AB$可逆，求证：$I_{n}+BA也可逆$
24. 设A,B均为n阶可逆阵，使得$A^{-1}+B^{-1}$可逆，证明：$A+B$也可逆，并且
$$(A+B)^{-1}=A^{-1}=A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}$$
25. (sherman-Morrison-Woodbury公式)
设A为n阶可逆阵，C为m阶可逆阵，B为$n×m$矩阵，D为$m×n$矩阵，使得$C^{-1}+DA^{-1}B$可逆，求证：$A+BCD$ 也可逆，并且 $$(A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}$$
26. 设A,B,A-B都是n阶可逆阵，证明
$$B^{-1}-A^{-1}=(B+B(A-B)^{-1}B)^{-1}$$
27. (sherman-Morrison 公式)
设A是n阶可逆阵，$α,β$是n维列向量，且$1+β’A^{-1}α≠0$，求证： $$(A+αβ’)^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+β’A^{-1}α}A^{-1} αβ’A^{-1}$$