初等变换及其应用
初等变换主要用在相抵标准型和求逆阵这两个方向的应用
相抵标准型
相抵标准型是一个矩阵经过初等变换所能得到的最终形态
28. 求证：n阶方阵$A$是奇异阵的中分必要条件是存在不全为零的同阶方阵 B，使得$AB=O$
29. 求证：n阶方阵A是奇异阵的充分必要条件是存在n维非零列向量$x$，使得$Ax=0$
注意：2.29这个结论可以用来在某些情况判定矩阵是否非异，挺有用的
30. 设A为n阶实反对称阵，证明：$I_{n}-A$是非异阵
31. 设A为n阶可逆阵，求证：只用第三类初等变换便可将A化为以下形状
$$diag{1,\cdots,1,|A|}$$
32. 求证：任一n阶矩阵均可表示为形如$I_{n}+a_{ij}E_{ij}$这样的矩阵之积，其中$E_{ij}$是n阶基础矩阵
求逆阵
这种方法不仅可以对数字矩阵有用，对文字矩阵也有用，以下的2.33是2.16的推广，是第四种解法
33. 求下列n阶矩阵的逆阵，其中$a_{i}≠0(1\le i\le n)$
21. 设n阶方阵A和B都满足$A+B=AB$，求证：$I_{n}-A$是可逆阵，且$AB=BA$
22. 设$A,B,AB-I_{n}$都是n阶可逆阵，证明：$A-B^{-1}$与$(A-B^{-1})^{-1}-A^{-1}$均可逆，并求他们的逆矩阵
$$ \left (\begin{array}{cccc} 1+a_{1} &1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1+a_{2} &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &1+a{3} &\cdots &1 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ 1 &1 &1 &\cdots &1+a_{n} \\ \end{array}\right) $$
34. 求A的逆阵
$$ A=\left (\begin{array}{cccc} 1 &2 &3 &\cdots & n \\ n &1 &2 &\cdots & n-1 \\ n-1 &n &1 &\cdots & n-2 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ 2 &3 &4 &\cdots & 1 \\ \end{array}\right) $$