伴随矩阵
一个有趣的关系是$AA^{}=A^{}=|A|I_{n}$，所以当detA的值不为零，A的逆便可求出来反过来伴随矩阵$A^{*}$也可以用A的行列式表示，所以伴随与逆阵可以是相互____，懂的都懂
一些性质
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
- $(A’)^{-1}=(A^{-1})’'$
- $(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}$
- $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
- $(A^{-1})^{-1}=A$
本节的习题都可以用相抵标准型和以上性质推出，并且在2.11节还能用摄动法再整一次，怎么样，神奇吧
35. 设A为n阶矩阵，满足$A^{m}=I_{n}$ ，求证：$(A*)^{m}=I_{n}$
36. 设A,B为n阶矩阵，求证：$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$
37. 设A为n阶矩阵，c为常数，求证：
(1) $(A’)^{*}=(A^{*})’$ (2)$(cA)^{*}=c^{n-1}A^{*}$
(3) 若A为可逆阵，则$(A)^{*}$也可逆，并且伴随与逆阵可交换，$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
38. 设A为n阶阵，求证：$|A^{*}|=|A|^{n-1}$
39. 设A为n阶(n>2)矩阵，求证：$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
40. 设A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，求由A,B组成的分块对角阵的伴随
$$ C=\left(\begin{array}{llll} A &O\\ O &B\\ \end{array}\right) $$
41.
已知 $ A^{*}=\left( \begin{array}{cccc} 1 &-2 &1 \\ 0 &2 &-2 \\ -1 &2 &1 \\ \end{array}\right) $ ，求A
42. 设n阶矩阵
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 &2 &2 &\cdots &2\\ 0 &1 &1 &\cdots &1\\ 0 &0 &1 &\cdots &1\\ \vdots &\vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 &0 &0 &\cdots & 1\\ \end{array}\right) $$ 求$ \sum_{i,j=1}^{n} A_{ij}$