迹
迹$tr(A)$是研究矩阵的一个重要的相似不变量
迹在处理某些问题时有特别的方便，算是一个有趣的角度，这一节介绍一下基本性质，首先是线性，对称性，交换性
43. 设A,B是n阶矩阵，求证：
(1) $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
(2) $tr(kA)=ktr(A)$
(3) $tr(A')=tr(A)$
(4) $tr(AB)=tr(BA)$
44. 求证：不存在n阶矩阵A,B，使得$AB-BA=kI-{n} (k≠0)$
45. 设A为n阶矩阵，P是同阶可逆阵，求证：$tr(P^{-1}AP)=tr(A)$，即相似矩阵有相同的迹
46. 证明下列结论：
(1) 若A是$m×n$ 实矩阵，则$tr(AA’\ge 0)$，等号成立的充要条件是 $A=O$；
(2) 若A是$m×n$ 复矩阵，则$tr(A\overline{A}’\ge 0)$，等号成立的充要条件是 $A=O$；
47. 设$A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$为实对称阵，且$A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+\cdots+A_{k}^{2}=O$，证明：每个$A_{i}=O$
48. 证明下列结论
(1) 设n阶实矩阵A适合$A’=-A$，如果存在同阶实矩阵B，使得$AB=B$，则$B=O$；
(2) 设n阶实矩阵A适合$\overline{A}’=-A$，如果存在同阶复矩阵B，使得$AB=B$，则$B=O$
49. 设A为n阶实矩阵，求证：$tr(A^{2}) \le tr(AA’)$，等号成立当且仅当A是对称阵
50. 设$A,B$是两个n阶矩阵，使得$tr(ABC) = tr(CBA)$，此之对任意的n阶矩阵C，求证：AB=BA
51. 设f是数域$\mathbb{F}$上n阶矩阵集合到 $\mathbb{F}$ 的一个映射，它满足下列条件：
(1) 对任意的n阶矩阵$A,B,f(A+B)=f(A)+f(B)$; (2) 对任意的n阶矩阵$A$和$\mathbb{F}$中的数k，$f(kA)=kf(A)$; (3) 对任意的n阶矩阵$A,B，f(AB)=f(BA)$; (4) $f(I_{n})=n$. 求证：$f$就是迹，即$f(A)=tr(A)$对任一切$\mathbb{F}$上n阶矩阵$A$成立