$|AB|=|A|B|$
这个结论是可以用来简化某些行列式的计算
- $C=AB$
- $CA=B$，其中A、C密切相关，B的行列式很容易计算；
- $CA=B$，其中A、B的行列式容易计算 以下是一些例子
52. 设$n \ge 3$，证明矩阵A的行列式的值等于零，
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1+x_{1}y_{1} &1+x_{1}y_{2} &\cdots &1+x_{1}y_{n}\\ 1+x_{2}y_{1} &1+x_{2}y_{2} &\cdots &1+x_{2}y_{n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ 1+x_{n}y_{1} &1+x_{n}y_{2} &\cdots &1+x_{n}y_{n}\\ \end{array}\right) $$
53. 计算下列n+1阶矩阵的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} (a_{0}+b_{0})^{2} &(a_{0}+b_{1})^{2} &\cdots &(a_{0}+b_{n})^{2}\\ (a_{1}+b_{0})^{2} &(a_{1}+b_{1})^{2} &\cdots &(a_{1}+b_{n})^{2}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ (a_{n}+b_{0})^{2} &(a_{n}+b_{1})^{2} &\cdots &(a_{n}+b_{n})^{2}\\ \end{array}\right) $$
54. 设$s_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}(k \ge 1), s_{0}=n$，矩阵S如下
$$ S=\left(\begin{array}{cccc} s_{0} &s_{1} &s_{2} &\cdots &s_{n-1}\\ s_{1} &s_{2} &s_{3} &\cdots &s_{n}\\ s_{2} &s_{3} &s_{4} &\cdots &s_{n+1}\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ s_{n-1} &s_{n} &s_{n+1}&\cdots &s_{2n-2}\\ \end{array}\right) $$ 试求|S|的值，并证明若$x_{i}$是实数， 则$|S|\ge 0$
55. 计算下列矩阵A的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} x &-y &-z &-w \\ y &x &-w &z \\ z &w &x &-y\\ w &-z &y &x\\ \end{array}\right) $$
56. 计算下列循环矩阵A的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1} &a_{2} &a_{3} &\cdots &a_{n}\\ a_{n} &a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n-1}\\ a_{n-1} &a_{n} &a_{1} &\cdots &a_{n-2}\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{2} &a_{3} &a_{4} &\cdots &a_{1}\\ \end{array}\right) $$
57. 计算下列矩阵A的行列式的值
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} cos\theta &cos2\theta &cos3\theta &\cdots &cosn\theta\\ cos n\theta &cos\theta &cos2\theta &\cdots &cos(n-1)\theta\\ cos(n-1)\theta &cosn\theta &cos1\theta &\cdots &cos(n-2)\theta\\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ cos2\theta &cos3\theta &cos4\theta &\cdots &cos\theta\\ \end{array}\right) $$