3.2 向量的线性关系

向量的线性关系

对于线性空间$\mathbb{V}$中的向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$，判断他们的线性关系是线性空间理论的一个基本问题，处理这类问题一般有两种方法，一是代数方法，即矩阵的初等变换及秩的理论；另一种是几何方法，即向量线性关系的定义和发展起来的线性关系理论

代数方法和具体计算问题

矩阵$A$的第$i$从左至右第一个非零元素称为这一行的阶梯点，若矩阵$A$的阶梯点，若矩阵A的阶梯点的列指标随着行数的增加而严格递增，则称这样的矩阵是阶梯形矩阵，利用数学归纳法可以证明：对任意矩阵$A$，经过若干次初等行变换之后，可以化为阶梯形矩阵

1. 设 $A$是$m×n$阶阶梯形矩阵，证明：$A$的秩等于其非零行的个数，且阶梯点所在的列向量是A的列向量的极大无关组

2. 设$ A= ( \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} ) $是一个$m×n$矩阵，其中$\alpha_{i}$是m维列向量，再者P是一个m阶可逆矩阵，$B=PA=( β_{1},β_{2},\cdots,β_{n} )$，其中$β_{j}=P\alpha_{j}(1 \le j \le n)$

3. 求下列向量组的秩

$$ (1,0,-1,3,-2),(2,1,0,-1,0),(3,1,-1,2,-2) $$

4. 判断下列两组向量是线性无关还是线性相关

(1) $(-1,3,1),(2,1,0),(1,4,1)$;

(2) $(2,3,0),(-1,4,0),(0,0,2)$

5. 判断下列向量$β$能否用向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha{3}$线性表示

(1) $β=(5,4,-2,4);\alpha_{1}=(1,0,-1,3);\alpha_{2}=(2,1,0,1);\alpha_{3}=(0,-2,1,1)$;

(2) $β=(1,1,1,1);\alpha_{1}=(-1,2,-1,1);\alpha_{2}=(4,0,1,-1);\alpha_{3}=(3,2,0,0)$

6. 求下列向量组的一个极大无关组

$$ \alpha_{1}=(1,1,2,2,1),\alpha_{2}=(0,2,1,5,-1),\alpha_{3}=(2,0,3,-1,3),\alpha_{4}=(1,1,0,4,-1) $$

几何方法和理论证明问题

遇到向量线性关系的证明题，通常我们从线性关系的定义出发，利用发展起来的线性空间理论加以证明，以下是一些例题

7. 在$n(n \ge 2)$维线性空间$V$中，试回答以下问题

(1) 若$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性相关，$β_{1},β_{2}$线性相关，问$α_{1}+β_{1},α_{2}+β_{2}$是否必线性相关

(2) 若$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性无关，$β$是另一个向量，问$α_{1}+β,α_{2}+β$是否线性相关

(3) 若$\alpha,β,γ$线性无关，$β,γ$线性相关，问$α,β,γ$是否必线性无关

8. 设$\alpha_{1},\alpha{2},\cdots,\alpha_{m}$是线性空间$V$中的一组线性无关的向量，$β$是$V$中的向量，求证：要么$\alpha_{1},\alpha{2},\cdots,\alpha_{m},β$线性无关，要么$β$是$\alpha_{1},\alpha{2},\cdots,\alpha_{m}$的线性组合

9. 设向量$β$可由向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性表示，但不能由其中任何个数少于m的部分向量线性表示，求证：这m个向量线性无关

10. 设线性空间$V$向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性无关，已知有序向量组{$β,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$}线性相关，求证：最多只有一个$\alpha_{i}$可以表示为前面向量的线性组合

11. 设n维列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性无关，A为n阶可逆矩阵，求证：$A\alpha_{1},A\alpha_{2},\cdots,A\alpha_{m}$线性无关

12. 设A是$n×m$阶矩阵，B是$m×n$矩阵，满足$AB=I_{n}$，求证：B的列向量线性无关

13. 设{$\alpha_{i}=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),1\le i \le m)$}是一组n维列向量， $1< j_{1} < j_{2} < \cdots < j_{t} \le n $是给定的t(t<n)个指标，定义$\widetilde{\alpha }_{i}=(a_{ij1},a_{ij2},\cdots,a_{ijt})$，称$\widetilde{\alpha}_{i}$是$\alpha_{i}$的t维缩短向量，求证：

(1) 若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性相关，则$ \widetilde{\alpha}_{1},\widetilde{\alpha}_{2},\cdots,\widetilde{\alpha}_{m} $也线性相关;

(2) 设n维行向量$\alpha=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$是$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$的线性组合，则$\widetilde{\alpha}_{i}$也是$\widetilde{\alpha}_{1},\widetilde{\alpha}_{2},\cdots,\widetilde{\alpha}_{m}$的线性组合

14. 设$V$是实数域上连续函数全体构成的实线性空间，求证下列函数线性无关：

(1) $sinx,sin2x,\cdots,sinnx$;

(2) $1,cosx,cos2x,\cdots,cosnx$;

(3) $1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,\cdots,sinnx,cosnx$

15. 设向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$线性无关，又

$$ \begin{cases} β_{1}=a_{11}\alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2}+\cdots+a_{1r}\alpha_{r}\\ β_{2}=a_{21}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{2r}\alpha_{r}\\ \cdots \cdots\\ β_{r}=a_{r1}\alpha_{1}+a_{r2}\alpha_{r}+\cdots+a_{rr}\alpha_{r} \end{cases} $$ 求证：$β_{1},β{2},\cdots,β_{r}$线性相关的充要条件是系数矩阵$A=(a_{ij})_{r×r}$的行列式为零

16. 设向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，向量组$β_{1},β_{2},β_{3}$可由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表示：

$$ \begin{cases} β_{1}=\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}\\ β_{2}=3\alpha_{1}-\alpha_{2}+4\alpha_{3}\\ β_{3}=\alpha_{2}+\alpha_{3} \end{cases} $$ 问$β_{1},β_{2},β_{3}$是否线性无关？

17. 设向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，向量组

$$ \alpha_{1}+2\alpha_{2}+\alpha_{3},2\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} $$ 是否也是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系？

18. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是一组线性无关的向量，向量组$β_{1},β_{2},\cdots,β_{k}$可以用$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性表示如下：

$$ \begin{cases} β_{1}=a_{11}\alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2}+\cdots+a_{1m}\alpha_{m}\\ β_{2}=a_{21}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{2m}\alpha_{m}\\ \cdots \cdots\\ β_{k}=a_{k1}\alpha_{1}+a_{k2}\alpha_{r}+\cdots+a_{km}\alpha_{m} \end{cases} $$ 记表示矩阵$A=(a_{ij})_{k×m}$，求证：向量组$β_{1},β_{2},\cdots,β_{k}$的秩等于r(A)

19. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是向量空间$V$中一组向量，向量组$β_{1},β_{2},\cdots,β_{k}$可用$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性表出，求证：向量组$β_{1},β_{2},\cdots,β_{k}$的秩小于等于向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$的秩

20. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是向量空间$V$中一组向量且其秩等于r，$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$是其中r个向量，假设下列条件之一成立：

(1) $\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$线性无关；

(2) 任一$\alpha_{i}$均可由$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$线性表示.

求证：$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$是向量组的极大无关组

21. 设有两个向量组A={$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$}和B={β_{1},β_{2},\cdots,β_{n}}

求证：它们等价的充要条件是它们的秩相等且其中一组向量可以用另一组线性表示