3.3 向量空间及其基础

线性空间及其基

线性空间理论是整个高等代数课程的核心，因此判断某个集合是否构成线性空间以及求出线性空间的一组基或者维数，本节将给出这些重要问题的例题

22. 教科书一般会给出线性空间的如下例子：

(1) 数域$mathbb{K}$上的n维行(列)向量空间

(2) 数域K上的一元多项式全体$K[x]$，在多项式的加法和数乘下成为$mathbb{K}$上的线性空间. 在$K[x]$中，取次数小于等于n的多项式全体，记这个集合为$K_{n}[x]$，则$K_{n}[x]$也是$\mathbb{K}$上的线性空间.

(3) 数域$\mathbb{K}$上$m×n$矩阵全体$M_{m×n}(K)$，在矩阵的加法和乘法下成为$\mathbb{K}$上的线性空间

(4) 若两个数域$K_{1}*K_{2}$，则$K_{2}$可以看做是$K_{1}$上的线性空间. 向量就是$K_{2}$中的数，向量的加法就是数的加法，数乘就是$K_{1}$中的数乘上$K_{2}$中的数. 特别地，数域$K$也是它自身上的线性空间.

(5) 实数域$\mathbb{R}$上的连续函数全体记为$C(R)$，函数的加法及数乘分别定义为$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，$(kf)(x)=kf(x)$,则$C(R)$是$R$上的线性空间

23. 判断下列集合是否构成实数域$R$上的线性空间:

(1) V为次数等于$n(n \ge 1)$的实系数多项式全体，加法和数乘就是多项式的加法和数乘

(2) $V=M_{n}(R)$，数乘是矩阵的数乘，加法$⊕$定义为$A ⊕ B=AB-BA$，其中等式右边是矩阵的减法和乘法

(3) $V=M_{n}(R)$，数乘是矩阵的数乘，加法$⊕$定义为$A ⊕ B=AB+BA$，其中等式右边是矩阵的加法和乘法

(4) $V$是以0为极限的实数数列全体，即$$V=\{ {a_{n}}|{\lim_{n \to \infty}{a_{n}}=0} \}$$ ，定义两个数列的加法$⊕$和数乘$⊙$为:${a_{n}}⊕{b_{n}}={a_{n}+b_{n}}$，$k⊙{a_{n}}={ka_{n}}$，其中等式右边分别是数的加法和乘法

(5) $V$是正实数全体$R^{+}$，加法$⊕$定义为$a⊕b=ab$，数乘$⊙$定义为$k⊙a=a^{k}$，其中等式右边分别是数分乘法和乘方

(6) $V$为实数对全体${(a,b)|a,b \in R}$，加法$⊕$定义为$(a_{1},b_{1})⊕(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}+a_{1}a_{2})$，数乘$⊙$定义为$k⊙(a,b)=(ka,kb+\frac{k(k-1)}{2}a^{2})$，其中等式右边分别是数的加法和乘法

25. 设$V$是n维线性空间，$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$是V中n个向量，若他们满足下列条件之一:

(1) $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$线性无关

(2) $V$中任一向量均可由$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$线性表示 求证：$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$是$V$的一组基

下面的命题通常称为基扩张定理

25. 设$V$是n维线性空间，$v_{1},v_{2},\cdots,v_{m}$是一组线性无关的向量(V的子空间U的一组基)，$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$是V的一组基，求证：必定可以从$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$中选出n-m个向量，使之和$v_{1},v_{2},\cdots,v_{m}$构成V一组基

26. 设$V$是数域$\mathbb{K}$上次数不超过n的多项式全体构成的线性空间，求证：${1,x,x^{2},\cdots,x^{n}}$是$V$的一组基，并且${1,x+1,(x+1)^{2},\cdots,(x+1)^{n}}$也是$V$的一组基

27. 设$V$是数域$\mathbb{K}$上次数小于n的多项式全体构成的线性空间，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$是$\mathbb{K}$中互不相同的n个数，$f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{n}),f_{i}(x)=f(x)/(x-a_{i})$，求证：{$f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots,f_{n}(x)$}组成V的一组基

28. 设$V$是数域$K$上$×$矩阵全体组成的线性空间，令$E_{ij}(1 \le i \le m,1 \le j \le n)$是第$(i,j)$元素为1其他元素为0的$m×n$矩阵，求证:全体$E_{ij}$组成V的一组基，从而说明V是mn维线性空间

29. 求下列线性空间$V$的维数:

(1) $V$是数域$\mathbb{K}$上n阶上三角矩阵全体组成的线性空间

(2) $V$是数域$\mathbb{K}$上n阶对称矩阵全体组成的线性空间

(3) $V$是数域$\mathbb{K}$上n阶反对称矩阵全体组成的线性空间

30. 设$V_{1}=\{A \in M_{n}(\mathbb{C}) | \overline(A)’ = A\}$为n阶Hermite矩阵全体，$V_{2}={A \in M_{n}(\mathbb{C}) | \overline(A)’ = -A}$为n阶斜Hermite矩阵全体，求证：在矩阵加法和实数对于矩阵的乘法下，$V_{1},V_{2}$成为实数域$\mathbb{R}$上的线性空间，并且具有相同的维数

31. 设$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})={a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}}$，其中abc均是有理数，证明：$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$是有理数域上的线性空间，并求出维数

32. 设$\mathbb{K_{1}},\mathbb{K_{2}},\mathbb{K_{3}}$是数域且$K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq K_{3}$. 若将$K_{2}$看做是$K_{1}$上的线性空间，且维数是m，同样的，将$K_{3}$看做是$K_{2}$上的线性空间，且其维数是n，求证：如果将$K_{3}$看做是$K_{1}$上的线性空间，且维数是mn

33. 证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间:

(1) 实数域$\mathbb{R}$上的连续函数全体组成的线性空间$C(\mathbb{R})$(见例3.22.5)

(2) 以0为极限的实数数列全体组成的线性空间