3.4 线性同构和几何问题代数化

3.4 线性同构和几何问题代数化

同一个数域$\mathbb{K}$上的两个线性空间$V,U$称为是线性同构的，如果存在一个一一对应的$φ: V \to U$，使得$φ$保持两个空间的线性运算（加法和数乘）. 因此，线性同构的两个线性空间实际上具有相同的代数结构（即线性结构），从而$φ$保持对应向量组的线性关系和秩. 特别地，$V$和$U$具有相同的的维数（参考3.1.3节定理5）

先看几个线性空间的例子

例证下列映射是线性同构

(1) 一维实行向量空间$\mathbb{R}$，例3.23(5)中的实线性空间$\mathbb{R^{+}}$，映射$φ$: $ \mathbb{R} \to \mathbb{R^{+}}$定义为$φ(x)=e^{x}$

(2) 二维实行向量空间$\mathbb{R_{2}}$，例3.23(6)中的实线性空间$V$，映射$φ$: $ \mathbb{R_{2}} \to V$定义为$φ(a,b)=(a,b+\frac{1}{2}a^2)$

35. 构造下列线性空间上的线性同构：

(1) $V$是数域$\mathbb{K}$上的n阶上三角矩阵构成的线性空间，$U$是数域$\mathbb{K}$上的n阶对称矩阵构成的线性空间（参考例3.29）

(2) $V$是数域$\mathbb{K}$上主对角元全为零的n阶上三角矩阵构成的线性空间，$U$是数域$\mathbb{K}$上的n阶反对称矩阵构成的线性空间（参考例3.29）

(3) $V$是n阶$Hermite$矩阵构成的实线性空间，$U$是n阶斜$Hermite$矩阵构成的线性空间（参考例3.30）

进一步，将3.1.3节的定理5运用到线性同构$\eta$上，我们可以得到如下重要的定理

定理 假设和记号同上面的tip，设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha{m},\beta$是$V$中向量，它们在给定基下的坐标向量记为$\widetilde{\alpha_{1}},\widetilde{\alpha_{2}},\cdots,\widetilde{\alpha_{m}},\widetilde{\beta}$，则

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha{m}$线性无关的充要条件是$\widetilde{\alpha_{1}},\widetilde{\alpha_{2}},\cdots,\widetilde{\alpha_{m}}$线性无关

(2) $\beta$可以用$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha{m}$线性表示的充要条件是$\widetilde{\beta}$可以用$\widetilde{\alpha_{1}},\widetilde{\alpha_{2}},\cdots,\widetilde{\alpha_{m}}$线性表示

(3) $\alpha_{i_{1}},\alpha{i_{2}},\cdots,\alpha{i_{r}}$是$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha{m}$的极大线性无关组的充要条件是$\alpha_{i_{1}},\alpha{i_{2}},\cdots,\alpha{i_{r}}$是向量组$\widetilde{\alpha_{1}},\widetilde{\alpha_{2}},\cdots,\widetilde{\alpha_{m}}$的极大无关组. 特别地，我们有 $$ r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha{m})=r(\widetilde{\alpha_{1}},\widetilde{\alpha_{2}},\cdots,\widetilde{\alpha_{m}}) $$

3.18 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是一组线性无关的向量，向量组$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{k}$可以用$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$线性表示如下:

$$ \begin{cases} \beta_{1}=a_{11}\alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2}+\cdots+a_{1m}\alpha_{m} \\ \beta_{2}=a_{21}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{2m}\alpha_{m} \\ \cdots \\ \beta_{k}=a_{k1}\alpha_{1}+a_{k2}\alpha_{2}+\cdots+a_{km}\alpha_{m} \\ \end{cases} $$ 我们记表示矩阵$A=(a_{ij}{k \times m})$，求证：向量组$\beta{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{k}$的秩等于$r(A)$

36. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k}$; $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m}$是向量空间$V$中的向量，且满足:

$$ \begin{cases} \beta_{1}=c_{11}\alpha_{1}+c_{12}\alpha_{2}+\cdots+c_{1k}\alpha_{k} \\ \beta_{2}=c_{21}\alpha_{1}+c_{22}\alpha_{2}+\cdots+c_{2k}\alpha_{k} \\ \cdots \\ \beta_{m}=c_{m1}\alpha_{1}+c_{m2}\alpha_{2}+\cdots+c_{mk}\alpha_{k} \\ \end{cases} $$

我们记上述表示式中的系数矩阵为$C=c_{ij}_{m \times k}$, 求证: (1) 若$r(C)=k$，则这两组向量等价;

(2) 若$r(C)=r$，则$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m}$的秩不超过r.

37. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是数域$\mathbb{F}$上n维线性空间$V$的m个向量，且已知它们的秩等于$r$，求证: 全体满足$x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{m}\alpha_{m}=0$的列向量$(x_1,x_2,\cdots,x_m)’ (x_{i} \in \mathbb{F})$构成数域$F$上m维列向量空间$\mathbb{F}^{m}$的$m-r$维子空间

38. 设$\{e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\}$是线性空间$V$的一组基，问题来了，$\{e_{1},e_{1}+e_{2},\cdots,e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}\}$是否也是$V$的基？

39. 已知向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}(s > 1)$是线性空间$V$的一组基，设$\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2},\beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3},\cdots,\beta_{s}=\alpha_{s}+\alpha_{1}$，请讨论向量$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$的线性性

40. 设$\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}$是线性空间$V$的一组基，已知

$$ \begin{cases} \alpha_{1}=e_{1}+e_{2}+e_{3}+3e_{4} \\ \alpha_{2}=-e_{1}-3e_{2}+5e_{3}+e_{4} \\ \alpha_{3}=3e_{1}+2e_{2}-e_{3}+4e_{4} \\ \alpha_{4}=-2e_{1}-6e_{2}+10e_{3}+2e_{4} \\ \end{cases} $$ 求$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$的极大无关组

41. 设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$是n个不同的数，$\{e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\}$是线性空间$V$的一组基，已知

$$ \begin{cases} \alpha_{1}=e_{1}+a_{1}e_{2}+\cdots+a_{1}^{n-1}e_{n} \\ \alpha_{2}=e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots+a_{2}^{n-1}e_{n} \\ \cdots\\ \alpha_{n}=e_{1}+a_{n}e_{2}+\cdots+a_{n}^{n-1}e_{n} \\ \end{cases} $$ 求证: $\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\}$也是$V$的一组基