3.6 子空间与商空间

46. 设$V=M_{n}(\mathbb{K})$是数域$\mathbb{K}$上的n阶矩阵全体组成的线性空间，$A \in V$，求证：与$A$乘法可交换的矩阵全体$C(A)$组成V的子空间且维数不为零；

又若$T$是$V$的非空子集，求证：与$T$中任一矩阵乘法可交换的矩阵全体$C(T)$也组成V的子空间且维数不为零

47. 设$\alpha_{1}=(1,0,-1,0), \alpha_{2}=(0,1,2,1), \alpha_{3}=(2,1,0,1)$是四维实行向量空间$V$中的向量，他们生成的子空间为$V_{1}$，又有向量$\beta_{1}=(-1,1,1,1), \beta_{2}=(1,-1,-3,-1), \beta_{3}=(-1,1,-1,1) $生成的子空间为$V_{2}$，求子空间$V_{1}+V_{2}$和$V_{1} \cap V_{2}$的基

48. 设$V$是数域$\mathbb{F}$上n阶矩阵组成的向量空间，$V_{1}$和$V_{2}$分别是$\mathbb{F}$上对称矩阵和反对称矩阵组成的子集，求证:$V_{1}$和$V_{2}$都是$V$的子空间，且$V=V_{1} \oplus V_{2}$

49. 设$V_{1},V_{2}$分别是数域$\mathbb{F}$上齐次线性方程组$x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$与$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$的解空间，求证：$\mathbb{F}^n=V_{1} \oplus V_{2}$

50. 设$U,V$是数域$\mathbb{K}$上的两个线性空间，$W=U \times V$是$U,V$的积集合，即$W=\{(u,v)| u \in U,v \in V\}$，现在$W$上定义加法和数乘如下:

$$ (u_{1},v_{1})+(u_{2},v_{2})=(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2}), k(u,v)=(ku,kv) $$ 验证: $W$是数域$\mathbb{K}$上的线性空间（这个空间我们称为$U$和$V$的外直和）又若设$U’=\{(u,0) | u \in U\}$, $V’=\{(0,v) | v \in V\}$，求证：$U’,V’$是$W$的子空间，$U$和$U’$同构，$U$和$U’$同构，且$W=U’ \oplus V'$

51. 设$U$是$V$的子空间，求证: 存在$V$的子空间$W$，使得$V=U \oplus W$. (这样的子空间$W$我们称为子空间$U$在$V$中的补空间)

52. 若$V=U \oplus W$，且$U=U_{1}+U_{2}$，求证: $V=U_{1} \oplus U_{2} \oplus W$

53. 求证: 每一个n维线性空间均可表示为n个一维子空间的直和

##} 54. 设$V_{1},V_{2},\cdots,V_{m}$是数域$\mathbb{F}$上向量空间$V$的m个真子空间，证明: 在$V$中必定存在一个向量$\alpha$，他不属于任何一个$V_{i}$

55. 设$V_{1},V_{2},\cdots,V_{m}$是数域$\mathbb{F}$上向量空间$V$的m个真子空间，证明: $V$中必定有一组基，使得每个基向量都不在诸$V_{i}$的并中

小老弟，看我手指这是几🖖

利用"几何问题代数化"可以给上面两个例题的统一解法，请大家仔细想想

在下面的两个例子中我们会介绍商空间的概念及其基本性质，并证明商空间和补空间同构

56. 设$V$是数域$\mathbb{K}$上的线性空间，$U$是$V$的子空间，对任意的$v \in V$，集合$v+U := {v+u | u \in U}$，称为 $v$ 的$U-陪集$. 在所有的$U-陪集$构成的集合$S={v+U | v \in V}$中，定义加法和数乘如下，其中$v_{1},v_{2} \in V, k \in \mathbb{K}$：

$$ (v_{1}+ U)+(v_{2}+ U) :=(v_{1}+v_{2})+U，k \cdot (v_{1}+U) :=k \cdot v_{1}+U $$ 请证明下列结论成立:

(1) $U-陪集$之间的关系是: 作为集合或者相等，或者不相交
(2) $v_{1}+U=v_{2}+U$ (作为集合相等)当且仅当$v_{1}-v_{2} \in U$. 特别地，$v+U$是$V$的子空间当且仅当$v \in U$
(3) $S$中的加法以及$\mathbb{K}$关于$S$的数乘不依赖代表元的选取，即若$v_{1}+U =v_{1}’+U$ 以及$v_{2}+U =v_{2}’+U$，则$(v_{1}+U)+(v_{2}+U)=(v_{1}’+U)+(v_{2}’+U)$以及$k \cdot (v_{1}+U) = k \cdot (v_{1}’+U)$;
(4) $S$在上述加法和数乘下成为数域$\mathbb{K}$上的线性空间，称为$V$关于子空间$U$的商空间，记为$V/U$