3.8 相抵标准型及其应用

3.8 相抵标准型及其应用

任一$m \times n$矩阵$A$均可通过初等变换变成相抵标准型 $$ \begin{pmatrix} I_{r} & O\\ O & O \end{pmatrix} $$

其中r为$A$的秩，矩阵的秩是矩阵在相抵关系下的全系不变量，即两个同阶矩阵相抵当且仅当他们的秩相等，在2.5节初等变换及其应用我们已经看到了相抵标准型的一些应用，在引入矩阵的秩这个概念后，我们可以得到更多关于矩阵相抵标准型的应用，一个通常的方法是，先对相抵标准型证明该问题成立，然后再处理一般矩阵的问题，看下面的问题吧

89. 求证: 秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1的矩阵之和，但是不能表示为少于r个秩为1的矩阵之和

90. 设$A, B, C$分别为$m \times n, p \times q, m \times q$阶矩阵，

$ M=\begin{pmatrix} A &C\\ O &B \end{pmatrix} $

证明: $r(M)=r(A)+r(B)$的充要条件是矩阵方程$AX+YB=C$有解，其中$X,Y$分别是$n \times q, m \times p$未知矩阵

91. 设$A$是$m \times n$矩阵，求证:

• (1) 若$r(A)=n$，即$A$是列满秩矩阵，则必存在秩为n的$ n \times m$矩阵$B$，使得$BA=I_{n}$，(这样的矩阵B称为是A的左逆)
• (2) 若$r(A)=m$，即$A$是行满秩矩阵，则必存在秩为m的$ n \times m$矩阵$C$，使得$AC=I_{m}$，(这样的矩阵C称为是A的右逆)

推论: 列满秩矩阵适合左消去律，同理，行满秩适合右消去律

92. (满秩分解)

设$m \times n$矩阵$A$的秩为r，证明:

• (1) $A=BC$，$B$是$m \times r$矩阵且$r(B)=r$，$C$是$r \times n$矩阵且$r(C)=r$，(这种分解称为$A$的满秩分解)
• (2) 若$A$有两个满秩分解$A=B_{1}C_{1}=B_{2}C_{2}$，则存在r阶非异阵$P$，使得$B_{2}=B_{1}P, C_{2}=P^{-1}C_{1}$

93. 设$A$是$m \times n$矩阵，证明: 存在$n \times m$矩阵，使得$ABA=A$

94. 设$A, B$分别是$3\times 2 ,2 \times 3$矩阵，且满足

$$ AB=\begin{pmatrix} 8 &2 &-2\\ 2 &5 &4\\ -2 &4 &5 \end{pmatrix} $$ 试求$BA$

下面我们给出幂等矩阵关于满秩分解的一个刻画

设$A$是n阶方阵且秩为r，求证: $A^{2}=A$的充要条件是存在秩为r的$n \times r$矩阵$S$，存在秩为r的$r \times n$矩阵$T$，使得$A=ST, TS=I_{r}$

推论: 设A为n阶幂等矩阵，则$tr(A)=r(A)$