3.9 线性方程组的解及其应用

3.9 线性方程组的解及其应用

如何求解线性方程组是高等代数中的第一个重要问题，为了彻底回答这个问题，我们引入了行列式、矩阵和线性空间等概念，并发展了他们的一整套理论，然后才给出了这个问题的完满回答. 线性方程组的求解理论自身内容十分丰富，包括解的判定定理和结构定理等;其应用也十分广泛，例如，我们用线性方程组的求解理论来判定某个向量是否能够由某个向量组线性表出，求出交空间的基以及推导矩阵的秩的相关性质，在本节中，我们将给出带参数线性方程组解的讨论和解空间的相关性质、线性方程组公共解的讨论以及线性方程组的求解理论在解析几何上的应用

1. 线性方程组解的讨论和解空间的性质

96. 讨论下列线性方程组的解，其中$\lambda$为参数

$$ \begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+4x_{4}=2\\ x_{1}+3x_{2}-4x_{3}+11x_{4}=\lambda \end{cases} $$

96. 讨论下列线性方程组的解，其中$\lambda$为参数

$$ \begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}+x_{4}=\lambda\\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=\lambda^{2} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=\lambda^{3} \end{cases} $$

98. 设$A$是一个$m \times n$矩阵，记$\alpha_{i}$是$A$的第$i$个行向量，$\beta=(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots,\beta_{n})$. 求证: 若齐次线性方程组$Ax=0$的解全是方程$b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots+b_{n}x_{n}=0 $的解，则$\beta$是$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$的线性组合

99. 设$Ax=\beta$是m个方程式n个未知数的线性方程组(一个长为n宽为m矩形)，求证: 他有解的充要条件是方程组$A’y=0$的任一解$\alpha$均适合等式$\alpha’ \beta=0$

100. 设有两个线性方程组:

$$ \begin{equation} \begin{cases} \label{3.1} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \cdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{m1}x_{m}=0\\ a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{m2}x_{m}=0 \label{3.2}\\ \cdots \\ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{m}=0 \\ b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots+b_{m}b_{m}=1 \end{cases} \end{equation} $$

求证: 方程组$\eqref{3.1}$有解的充要条件是方程组$\eqref{3.2}$无解

101 设$A$是秩为r的$m \times n$矩阵，求证: 必存在秩为$n-r$的$n \times (n-r)$矩阵$B$，使得$AB=O$

102. 设

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots\\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\ \end{pmatrix} (m < n), $$ 已知$Ax=0$的基础解系为$\beta_{i}=(b_{i1}, b_{i2}, \cdots, b_{in})’ (1 \le i \le n-m)$, 试求齐次线性方程组 $$ \sum_{j=1}^{n} b_{ij}y_{j} = 0 (i=1,2, \cdots , n-m) $$ 的基础解系

103. 设$V_{0}$是数域$\mathbb{K}$上n维列向量空间的真子空间，求证: 必定存在矩阵$A$，使得$V_{0}$是n元齐次线性方程组$Ax=0$的解空间

104. 设$A$是秩为r的$m \times n$矩阵，$\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-r}$与$\beta_{1}, \cdots, \beta_{n-r}$与是齐次线性方程组$Ax=0$的两个基础解系求证: 必存在$n-r$阶可逆矩阵$P$使得

$$ (\beta_{1},\cdots, \beta_{n-r}) = (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-r})P $$

105. 设$A, B$为$m \times n$和$n \times p$矩阵，$X$为$n \times p$未知矩阵，证明矩阵方程$AX=B$有解的充要条件是$r(A?B)=r(A)$

线性方程组解的结构定理也可以推广到矩阵方程的情形，我们通过一个具体的例子说明

106. 设

$ A=\begin{pmatrix} 1&1&2&1\\ 1&2&3&3\\ 2&3&5&4\\ 3&5&8&7 \end{pmatrix} $

$ B=\begin{pmatrix} 1&1\\ 5&-1\\ 6&0\\ 11&-1 \end{pmatrix} $ ，$X$为$4 \times 2$未知矩阵，请你试求矩阵方程$AX=B$的解

107. 设$A, B$为$m \times n$，$n \times p$矩阵，证明: 存在$p \times n$矩阵$C$，使得$ABC = A$的充要条件是$r(A)=r(AB)$

2. 线性方程组的公共解

如果有两个含n个未知数的齐次线性方程组$Ax=0$和$Bx=0$，要求他们的公共解，只需将它们联立起来求解即可，若只已知两个齐次线性方程组的基础解系，而不知道方程组本身，要求他们的公共解，只需求他们的基础解系生成的解空间的交即可，而求两个子空间交的方法在3.6节已有交代. 对两个非齐次线性方程组，若只已知它们的同解，而不知道方程组本身，要求他们的公共解，我们可以这样来做:

设$Ax = \beta_{1}$, $Bx = \beta_{2}$是两个含n个未知数的非齐次线性方程组. 方程组$Ax=\beta_{1}$有特解$\gamma$且$Ax=0$的基础解系为$\eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$, 方程组$Bx=\beta_{2}$有特解$\delta$，且$Bx=0$的基础解系为$\xi_{1}, \cdots, \xi_{n-s}$,

方法一: 假设它们的公共解为$\gamma+t_{1}\eta_{1}+\cdots+t_{n-r}\eta_{n-r}-\delta$是$Bx=0$的解，因此可以表示为$\xi_{1}, \cdots, \xi_{n-s}$，的线性组合. 于是矩阵$(\xi_{1}, \cdots, \xi_{n-s}, \gamma+t_{1}\eta_{1}+\cdots+t_{n-r}\eta_{n-r}-\delta)$的秩等于$n-s$. 由此可以求出$t_{1}$，从而求出公共解

方法二: 假设它们的公共解为$\zeta$，则 $$ \zeta=\gamma+t_{1}\eta_{1}+\cdots+t_{n-r}\eta_{n-r}=\delta+(-u_{1})\xi_{1}+\cdots+(-u_{n-s})\xi_{n-s}. $$ 要求公共解$\zeta$等价于求解下列关于未定元$t_{1}, \cdots, t_{n-r}; u_{1}, \cdots, u_{n-s}$的线性方程组 $$ t_{1}\eta_{1}+\cdots+t_{n-r}\eta_{n-r}+u_{1}\xi_{1}+\cdots+u_{n-s}\xi_{n-s}=\delta-\gamma $$

下面是这类问题的一个典型例子

108. 设有两个非齐次线性方程组$(Ⅰ), (Ⅱ)$，他们的通解分别为

$$ \gamma+t_{1}\eta_{1}+t_{2}\eta_{2}; \delta+k_{1}\xi_{1}+k_{2}\xi_{2} $$ 其中$\gamma = (5,-3,0,0)’, \eta_{1} = (-6, 5, 1, 0)’ ,\eta_{2} = (-5, 4, 0, 1)’ , \delta = (-11, 3, 0, 0)’ ,\xi_{1} = (8, -1, 1, 0)’ ，\xi_{2} = (10, -2, 0, 1)’$，求这两个方程的公共解

109. 设有非齐次线性方程组$(Ⅰ)$:

$$ \begin{equation} \begin{cases} 7x_{1}-6x_{2}+3x_{3} = b,\\ 8x_{1}-9x_{2}+ax_{4} = 7 \label{1.1} \end{cases} \end{equation} $$ 又已知方程组$(Ⅱ)$的通解为: $$ (1, 1, 0, 0)’ + t_{1}(1, 0, -1, 0)’ + t_{2}(2, 3, 0, 1)’ $$ 若这两个方程组有无穷多组公共解，求出$a, b$的值并求出公共解

3. 在解析几何上的应用

110. 求平面上n个点$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \cdots, (x_{n}, y_{n})$位于同一条直线上的充要条件

111. 求三维空间中4点$(x_{i}, y_{i}, z_{i}) (1 \le i \le 4)共面的充要条件

112. 证明: 通过平面内不在一条直线上的三点$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$的圆方程为

$$ \begin{vmatrix} x^{2}+y^{2} &x &y &1\\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &x_{1} &y_{1} &1\\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} &x_{2} &y_{2} &1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} &x_{3} &y_{3} &1 \end{vmatrix} =0 $$

113. 求平面上不在一条直线上的4个点$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})$位于同一个圆上的充要条件

114. 已知平面上两条不同的二次曲线$a_{i}x^{2} + b_{i}xy + c_{i}y^{2} + d_{i}x + e_{i}y + f_{i}=0 (i = 1, 2)$交于四个不同的点$(x_{i}, y_{i}) (1 \le i \le 4)$，求证: 或这四个点的二次曲线为以下形式

$$ \lambda_{1}(a_{1}x^{2} + b_{1}xy + c_{1}y^{2} + d_{1}x + e_{1}y + f_{1}) + \lambda_{2} (a_{2}x^{2} + b_{2}xy + c_{2}y^{2} + d_{2}x + e_{2}y + f_{2})=0 $$