4.4 线性映射与矩阵

4.4 线性映射与矩阵

本节的线性映射与矩阵的关系是这一章的核心，线性映射是一个几何概念，矩阵是一个代数概念，他们之间的关系需要掌握以下几点:

(1) 记数域$F$上n维向量$V$到m维向量空间$U$的线性映射全体记为$\mathcal{L} (V,U)$，$\mathbb{F}$矩阵全体为$M_{m \times n}(\mathbb{F})$. 各自选定$V$和$U$的一组基，设$\varphi \in \mathcal{L}(V,U)$，在给定基下的表示矩阵为$A$，则$\varphi \rightarrow A$定义了从$\mathcal{L}(V,U)$到$M_{m \times n}(F)$的一一对应，这个对应还是一个线性同构. 若$m = n$，则在这个对应下，线性同构(可逆线性映射)对应于可逆矩阵，特别地，若$V = U$，上述对应还定义了一个代数同构，即除了保持加法和数乘外，还保持乘法. 因此，两个向量空间之间线性映射的运算完全可以归结为矩阵的运算.

(2) 设线性映射 $\varphi$ 在给定基下的表示矩阵为$A$，则$Ker \varphi$和齐次线性方程组$Ax = 0$的解空间同构，$Im \varphi$ 和 $A$的全体列向量张成的向量空间同构. 这两点由例4.20的结论可得

20. 设 $\varphi$ 是数域$\mathbb{F}$ 上n维线性空间 $V$ 到m维线性空间$U$的线性映射. 令 $F^{n}$和$F^{m}$分别是$F$上n维和m维列向量空间. 又设 $e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 和 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$分别是$V$和$U$的基. $\varphi$在给定基下的表示矩阵为$A$，记$\eta_{1} : V \rightarrow F^{n}$ 为$V$中向量映射到它在基$e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$下的坐标向量的线性同构，$\eta_{2} : U \rightarrow F^{m}$ 为$U$中向量映射到它在基$f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$下的坐标向量的线性同构，$A : \mathbb{F}^{n} \rightarrow \mathbb{m}$ 为矩阵乘法诱导的线性映射，即$A(\alpha) = A \alpha$. 求证: $\eta_{2} \varphi = A \eta_{1}$，即下列交换图，并且 $\eta_{1} : Ker\varphi \rightarrow Ker A，\eta_{2} : Im\varphi \rightarrow Im A$ 都是线性同构.

mathjax没添加tikz宏包，我是本地画好在再上传的，应该不会很多

证明: 请参考教材[1]中定理4.3.1和定理4.4.1的证明

21. 设$\varphi$是线性空间$V$到$U$的线性映射，$\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$, $\{f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\}$是$V$的两组基，，$\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$到$\{f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\}$的过渡矩阵为$P$，，$\{g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{m}\}$和$\{h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{m}\}$是$U$的两组基，，$\{g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{m}\}$ 到 $\{h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{m}\}$的过渡矩阵为$Q$. 又设 $\varphi$ 在基 ，，$\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$ 和基 $\{g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{m}\}$ 下的表示矩阵为 $A$ ，在基 $\{f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\}$ 和 $\{h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{m}\}$下的表示矩阵为 $B$，求证: $B = Q^{-1}AP$

22. 设 $\varphi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证: 必定存在 $V$ 和 $U$ 的两组基，使线性映射 $\varphi$ 在两组基下的表示矩阵为

$ \begin{pmatrix} I_{r} & O\\ O & O \end{pmatrix} $

23. 设 $\varphi : V \rightarrow U$ 为线性映射，求证:

$dim Ker\varphi + dim Im\varphi = dimV$

24. 设 $\varphi$ 是n维线性空间 $V$ 到m维线性空间 $U$ 的线性映射，$\varphi$ 在给定基下的表示矩阵为 $A$. 求证: $\varphi$ 是满映射的充要条件是 $r(A) = m$，$\varphi$是单映射的充要条件是 $r(A) = n$

两个旧题目。

4.3 和4.5 的代数证法

25. 设 $\varphi: V \rightarrow U$ 为线性映射且 $\varphi$ 的秩为$r$ ，证明: 存在$r$个秩为1的线性映射$\varphi_{i}: V \rightarrow U (1 \le i \le r)$，使得$\varphi = \varphi_{1} + \varphi_{2} + \dots + \varphi_{r}$

26. 设 $\varphi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，若它在$V$的任一组基下的表示矩阵都相同，求证: $\varphi$是纯量变换，即存在常数$k$，使得 $\varphi(\alpha) = k\alpha$ 对一切 $\alpha \in V$都成立

以下两题都可以用两种方法解决

27. 设 $A,B$ 都是数域 $F$ 上的$m \times n$矩阵，求证: 方程组 $Ax = 0, Bx = 0$同解的充要条件是存在可逆矩阵 $P$，使得$B = PA$

3.69(Frobenius不等式)证明: $r(ABC) \ge r(AB) + r(BC) - r(B)$.

28. 若数域 $F$ 上的n阶方阵 $A$ 和 $B$ 相似，求证: 它们可以看成是某个线性空间上同一个线性变换在不同基下的表示矩阵.

下面两个例子说明如何选择合适的基使得线性变换的表示矩阵满足一定的条件

29. 设 $V$ 是数域 $F$ 上n阶矩阵全体构成的线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换: $\varphi(A) = A’$. 证明: 存在 $V$ 的一组基，使得 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵是一个对角阵且主对角元素全是$1$或者是$-1$，并求出这里$1$和$-1$的个数

30. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$\varphi, \psi$ 是$V$上的线性变换且 $\varphi^{2} = 0, \psi^{2} = 0, \varphi\psi + \psi\varphi = I$, $I$则是$V$上的恒等变换. 求证:

(1) $V = Ker \varphi \oplus Ker \psi$;

(2) 若 $V$ 是二维空间，则存在 $V$ 的基$e_{1}, e_{2}$，使得 $\varphi, \psi$ 在这组基下的表示矩阵分别为 $$ A = \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} $$

(3) $V$ 必是偶数维空间且若$V$是 $2k$ 维空间，则存在 $V$ 的一组基，使得 $\varphi, \psi$在这组基下的表示矩阵分别为下列分块对角阵

$$ \begin{pmatrix} A & O \cdots O\\ O & A \cdots O\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ O & O \cdots A \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} B & O \cdots O\\ O & B \cdots O\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ O & O \cdots B \end{pmatrix} $$ 其中主对角线上分别有k个$A, B$