4.5 像空间和核空间

4.5 像空间和核空间

利用像空间和核空间来讨论线性映射的满性和单性是常见的方法，因此他们是相伴于线性映射的两个重要的子空间. 如何来确定线性映射的像空间和核空间，以及如何运用他们去研究线性映射的性质，我们将在接下来的例子中做介绍

31. 设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 在基$\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\}$ 下的表示矩阵为

$$ A = \begin{pmatrix} 1&0&2&1\\ -1&2&1&3\\ 1&2&5&5\\ 2&-2&1&-2 \end{pmatrix} $$

求 $\varphi$ 的核空间与像空间(用基的线性组合表示)

32. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\varphi_{1}, \varphi_{2}, \dots, \varphi_{k}$ 是 $V$ 上的非零线性变换，求证: 存在 $\alpha \in V$ ，使得 $\varphi_{i}(\alpha) \neq 0 (1 \le i \le k)$

33. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\varphi_{1}(\alpha), \varphi_{2}(\alpha), \dots, \varphi_{k}(\alpha)$ 互不相同

34. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，求证: $r(A^{n}) = r(A^{n+1}) = r(A^{n+2}) = \dots$

35. 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，求证: 必定存在整数 $m \in [0, n]$, 使得

$$ Im\varphi^{m} = Im\varphi^{m+1}, Ker\varphi^{m} = Ker\varphi^{m+1}, V = Im\varphi^{m} \oplus Ker\varphi^{m} $$

36. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$\varphi$ 是$V$ 上的线性变换，证明以下9个结论等价:

(1) $V = Ker\varphi \oplus Im\varphi$;

(2) $V = Ker\varphi + Im\varphi$;

(3) $Ker\varphi \cap Im\varphi = 0$

(4) $Ker\varphi = Ker\varphi^{2}$, 或者等价地, $dim Ker\varphi = dim Ker\varphi^{2}$

(5) $Ker\varphi = Ker\varphi^{2} = Ker\varphi^{3} = \dots$, 或者等价地, $dim Ker\varphi = dim Ker\varphi^{2} = dim Ker\varphi^{3} $

(6) $Im\varphi = Im\varphi^{2}$, 或者等价地，$r(\varphi) = r(\varphi^{2})$

(7) $Im\varphi = Im\varphi^{2} = Im\varphi^{3} = \dots$, 或者等价地，$r(\varphi) = r(\varphi^{2}) = r(\varphi^{3}) = dots$

(8) $Ker\varphi$ 存在 $\varphi-$不变补空间，即存在 $\varphi-$不变补空间$U$，使得$V = Ker\varphi \oplus U$;

(9) $Im\varphi$ 存在 $\varphi-$不变补空间，即存在 $\varphi-$不变补空间$W$，使得$V = Im\varphi \oplus W$;

下面我们从商空间的角度给出线性映射维数公式的第四种证法

37. 设 $V,U$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，$\varphi: V \rightarrow U$ 是线性映射，证明: 由 $\varphi$ 诱导的线性映射 $\overline{\varphi}: V/Ker\varphi \rightarrow Im\varphi , \overline{\varphi}(v + Ker\varphi) = \varphi(v)$ 是线性同构，特别地 $dimV = dim Ker\varphi + dim Im\varphi$

38. 设 $U, W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间且 $dimU + dimW = dimV$. 求证: 存在 $V$ 上的线性变换$\varphi$ ，使得$Ker\varphi = U , Im\varphi = W$.

39. 设 $V = M_{n}(\mathbb{F})$ 是$\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$\varphi : V \rightarrow \mathbb{F}$ 是迹函数，即对任意的 $A = (a_{ij}) \in V$，

$$ \varphi(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} $$

求证: $\varphi$ 是 $V$ 到一维空间 $\mathbb{F}$ 上的线性映射，并求 $Ker \varphi$ 的维数及其一组基

40. 设 $\varphi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，且 $V$ 的维数大于 $U$ 的维数，求证: $Ker \varphi \neq 0$

41. 设 $\varphi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的满线性映射，求证: 必定存在 $V$ 的子空间 $W$ ，使得 $V = W \oplus Ker\varphi$，且 $\varphi$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 到 $U$ 上的线性同构

42. 设 $\varphi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $V’$ 的线性映射，$U$ 是 $V’$ 的子空间且 $U \subseteq Im \varphi$ ，求证: $\varphi^{-1}(U) = \{v \in V | \varphi(v) \in U\}$是$V$的子空间，且

$$ dimU + dim Ker\varphi = dim \varphi^{-1}(U) $$

43. 设 $U$ 是有限维线性空间 $V$ 的子空间，$\varphi$ 是$V$上的线性变换，求证:

(1) $dimU - dim Ker\varphi \le dim\varphi(U) \le dimU$

(2) $ dim\varphi^{-1}(U) \le dimU + dim Ker\varphi $

44. 利用上题证明: 若 $A, B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上两个 $n$ 方阵，则

$$ r(A) + r(B) - n \le r(AB) \le min\{r(A), r(B)\}. $$