4.6 不变子空间
通过不变子空间来研究线性变换是常用的方法，他可以将全空间上的问题转化为维数较小的子空间上的问题，因此许多问题中常常需要证明，一个子空间是一个线性变换的不变子空间，下面是一些例题
45. 设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 在基 $\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\}$ 下的表示矩阵为
$$ A = \begin{pmatrix} 1&0&2&-1\\ 0&1&4&-2\\ 2&-1&0&1\\ 2&-1&-1&2 \end{pmatrix} $$ 求证: $U = L(e_{1} + 2e_{2}, e_{3} + e_{4}, e_{1} + e_{2})$ 和 $W = L(e_{2} + e_{2})$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间
46. 设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 的不变子空间，书证: $V_{1} \subseteq V_{2} , V_{1} + V_{2}$ 也是 $\varphi$ 的不变子空间
47. 设 $\varphi$ 是 $n(n \ge 2)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明: 以下 $n$ 个结论等价
(1) $V$ 上的任一1维空间都是 $\varphi-$ 不变子空间
……
(r) $V$ 上的任一r维空间都是 $\varphi-$ 不变子空间
……
(n-1) $V$ 上的任一r维空间都是 $\varphi-$ 不变子空间
(n) $\varphi$ 是纯量变换
48. 设 $\varphi , \psi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换且 $\varphi \psi = \psi \varphi $，求证: $Im \varphi$ 及 $Ker \varphi$ 都是 $\psi$ 的不变子空间
49. 设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶幂零阵，$B$ 为$n$阶方阵，满足 $AB = BA$ 且 $r(AB) = r(B)$. 求证: $B = O$
50. 设 $\varphi$ 是$n$维线性空间 $V$ 上的自同构，若 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，求证: $W$ 也是 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间
###51. 设 $V$ 是次数小于 $n$ 的实系数多项式组成的线性空间，$D$ 是$V$上的求导变换. 求证: $D$ 的任一 $k(k \ge 1)$ 维不变子空间必定是由 $1, x, \dots, x^{k-1}$ 生成的子空间. 特别地，向量1包含在 $D$ 的任一非零不变子空间中.
52. 设 $\varphi$ 是$n$维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varphi$ 在 $V$ 的一组基下的表示矩阵为对角阵且主对角线上的元素互不相同，求 $\varphi$ 的所有不变子空间
53.
设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $r$ 维 $\varphi-$ 不变子空间. 取 $U$ 的一组基 $\{e_{1}, \dots, e_{r}\}$ ，并扩张为 $V$ 的一组基 $\{e_{1}, \dots, e_{r}, e_{r+1} , \dots, e_{n}\}$. 设 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵 $A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ O & A_{22} \end{pmatrix} $ 为分块上三角阵，其中 $A_{11}$ 是 $\varphi$ 在不变子空间 $U$ 上的限制 $\varphi|{U}$ 在基 $\{ e{1}, \dots, e_{r}\}$ 下的表示矩阵. 证明: $\varphi$ 诱导的变换 $\overline{\varphi(v + U)} = \varphi(v) + U$是商空间 $V/U$ 上的线性变换。并且在 $V/U$ 的一组基 $\{e_{r+1} + U, \dots, e_{n} + U\}$ 下的表示矩阵为 $A_{22}$