4.7 幂等矩阵

4.7 幂等变换

若线性变换 $\varphi$ 满足 $\varphi^{2} = \varphi$ 则称为幂等变换，这是一类比较简单但又有重要用途的线性变换，我们来看一个幂等变换的简单例子

设 $V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{m}$为线性空间 $V$ 关于子空间 $V_{i} (1 \le i \le m)$ 的直和分解，则 $V$ 中任一向量 $v$ 可唯一地分解为 $v = v_{1} + v_{2} + v_{m}$, 其中 $v_{i} \in V_{i}$. 定义 $\varphi_{i} : V \rightarrow V$ ，$\varphi_{i} = v_{i}(1 \le i \le m)$，容易验证 $\varphi_{i}$ 是 $V$ 上的线性变换，称为 $V$ 到 $V_{i}$ 上的投影变换，通过简单的验证可以得到投影变换. 通过简单的验证可以得到投影变换满足以下的性质:

(1) $\varphi_{i}^{2} = \varphi_{i} ，\varphi_{i}\varphi_{j} = 0(i \neq j) , I_{V} = \varphi_{1} + \varphi_{2} + \dots + \varphi_{m}$;

(2) $Im\varphi_{I} = V_{i}, Ker \varphi_{i} = \underset{j \neq i}{\oplus} V_{j}, V = Im \varphi_{i} \oplus Ker \varphi_{i} $

因此，投影变换 $\varphi_{i}$ 都是幂等变换; 若取 $V_{i}$ 的一组基拼成 $V$ 的一组基，则 $\varphi_{i}$ 在这组基下的表示矩阵为对角阵 $diag{0,\dots,0,1,\dots,1,0,\dots,0}$, 其中1的个数为$dim V_{i}$ ; 另外还有 $V = Im\varphi_{1} \oplus Im\varphi_{2} \oplus \varphi_{m}, Ker \varphi_{1} \cap Ker \varphi_{2} \cap \dots \cap Ker \varphi_{m} = 0 $

然而下面的例子告诉我们幂等变换其实就是投影变换，是不同角度，就像牛顿和莱布尼茨从不同角度的到的微积分

54. 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，证明: $V = U \oplus W$，其中 $U = Im\varphi = Ker(I_{V} - \varphi), W = Im(I_{V} - \varphi) = Ker \varphi$ , 且 $\varphi$ 就是 $V$ 到 $U$ 上的投影变换

55. 设 $A$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶幂等矩阵，求证:

(1) 存在 $n$ 阶非异阵 $P$ ，使得$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_{r} & O\\ O & O \end{pmatrix} $ ，其中$r = r(A)$;

(2) $r(A) = tr(A)$

56. 设 $A, B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶幂等矩阵，且 $A$ 和 $B$ 的秩相同，求证: 必存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $C$ ，使得 $CB = AC$

57. 设 $\varphi, \psi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等线性变换，求证:

(1) $Im \varphi = Im \psi$ 的充要条件是 $\varphi \psi = \psi , \psi \varphi = \varphi$

(2) $Ker \varphi = Ker \psi$ 的充要条件是 $\varphi \psi = \varphi , \psi \varphi = \psi$

58. 设 $\varphi, \psi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等线性变换，求证:

(1) $\varphi + \psi$ 是幂等变换的充要条件是 $\varphi \psi = \psi \varphi = 0$;

(2) $\varphi - \psi$ 是幂等变换的充要条件是 $\varphi \psi = \psi \varphi = \psi$

59. 设 $\varphi_{1} ,\dots \varphi_{m}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且适合条件:

$$ \varphi_{i}^{2} = \varphi_{i} , \varphi_{i} \varphi_{j} = 0(i \neq j) , Ker\varphi_{1} \cap \dots \cap Ker \varphi_{m} = 0 $$

求证 : $V$ 是 $Im \varphi , \dots , Im\varphi_{m}$ 的直和

60. 设 $\varphi, \varphi_{1}, \dots ,\varphi_{m}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足: $\varphi^{2} = \varphi$ 且 $\varphi = \varphi_{1} + \varphi_{2} +\dots + \varphi_{m}$. 求证: $r(\varphi) = r(\varphi_{1}) + r(\varphi_{2}) + \dots + r(\varphi_{m})$ 成立的充要条件是 $\varphi_{i}^{2} = \varphi_{i} , \varphi_{i} \varphi_{j} = 0 (i \neq j)$