5.5 多项式函数与根
判别多项式有无重根的最常用方法是判别该多项式及其形式导数是否有公因式. 下面是关于该方法的几个例子
22. 证明: 数域 $\mathbb{F}$ 上任意一个不可约多项式在复数域 $\mathbb{C}$ 中无重根
23. 求证: $a$ 是多项式 $f(x)$ 的$k$重根的充要条件是:
$$ f(a) = f’(a) = \dots = f^{k-1}(a) = 0，f^{k}(a) \neq 0 $$
24. 设 $degf(x) = n \ge 1$，若 $f’(x) | f(x)$ ，证明: $f(x)$ 有 $n$ 重根
25. 设 $f(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式，若对 $\mathbb{F}$ 中的某个非零常数 $a$，有 $f(x+a) = f(x)$ ，求证: $f(x) $ 必定是常数多项式
26. 设 $f(x)$ 是非常数多项式且 $f(x)$ 可以整除 $f(x^{m}) (m > 1)$ ，求证: $f(x)$ 的根只能是 $0$ 或 $1$的某个方根
27. 求证: $f(x) = sinx$ 在实数域内不能表示为 $x$ 的某个多项式
28. 设 $n$ 是奇数，求证: $(x + y)(y + z)(x + z)$ 可以整除 $(x + y + z)^{n} - x^{n} - y^{n} - z^{n}$
29. 设 $f(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，若当 $k = 0,1,2,\dots,n$ 时有$f(k) = \dfrac{k}{k+1}$，求 $f(n + 1)$
30. 设 $(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) | (x^{3}f_{1}(x^{5}) + x^{2}f_{2}(x^{5}) + xf_{3}(x^{5}) + f_{4}(x^{5})), $ 这里 $f_{i}(x)(1 \le i \le 4)$ 都是实系数多项式, 求证 : $f_{1} = 0 (1 \le I \le 4)$
5.6 复系数多项式
$Vieta$ 定理是多项式根与系数关系的最重要的结论，他有许多用途. 下面几个是应用 $Vieta$ 定理的典型例子.
小老弟，看我手指这是几🖖
vieta(韦达)定理简述如下 对于一元复系数 $n$ 次方程 $a_{n}x_{n} + a_{n-1}x_{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} $
$ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = - \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}
\prod_{i = 1}^{n} x_{i} = (-1)^{n} \dfrac{a_{0}}{a_{n}} $
31. 设三次方程 $x^{3} + px^{2} + qx + r = 0$ 的三个很成等差数列，求证:
$$ 2p^{3} - 9pq + 27r = 0 $$
32. 设三次方程 $x^{3} + px^{2} + qx + r = 0$ 的三个根成等比数列，而多项式 $$求证:
$$ rp^{3} = q^{3} $$
33. 设多项式 $x^{3} + 3x^{2} + mx + n $ 的三个根成等差数列，多项式 $x^{3} - (m-2)x^{2} + (n-3)x + 8 $ 的三个根成等比数列，求 $m$ 和 $n$.
34. 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是三次方程 $x^{3} + px^{2} + qx + r = 0(r \neq 0) $ 的三个根，求这三个根倒数的平方和
35. 已知方程 $x^{3} + px^{2} + qx + r = 0 $ 的三个根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，求一个三次方程使其根 $x_{1}^{3}, x_{2}^{3}, x_{3}^{3}$
36. 设多项式 $x^{3} + px^{2} + qx + r $ 的三个根都是实数, 求证: $p \ge 3q$
下面的例5.37也是讨论根与系数的关系，但是如果用韦达定理会比较繁琐，我们采用了不同的方法处理
37. 设 $f(x) = a_{n}x_{n} + a_{n-1}x_{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} $的 $n$ 个根 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 皆不等于零，求以 $\dfrac{1}{x_{1}},
\dfrac{1}{x_{2}}, \dots, \dfrac{1}{x_{n}},$ 为根的多项式