5.7 实系数多项式
下面的3个例题是实系数多项式的基本性质
39. 设 $f(x)$ 是复数域上的多项式，若对任意的实数 $c$，$f(c)$ 总是实数，求证: $f(x)$ 是实系数多项式
40. 证明: 奇数次实系数多项式必有实数根
41. 设 $f(x) = a_{n}x_{n} + a_{n-1}x_{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} $ 是实系数多项式，求证:
(1) 若 $a_{i}(0 \le i \le n)$ 全是正数或全是负数，则$f(x)$ 没有非负实根
(2) 若 $(-1)^{i}a_{i} (0 \le i \le n)$ 全是正数或者全是负数，则 $f(x)$ 没有非正实根
(3) 若 $a_{n} > 0$ 且 $(-1)^{n-i}a_{i} > 0(0 \le i \le n-1)$，则 $f(x)$ 没有非正实根; 若 $a_{n} > 0$ 且 $(-1)^{n-i}a_{i} \ge 0(0 \le i \le n-1)$，则 $f(x)$ 没有负实根
42. 令 $\Delta = \dfrac{q^{2}}{4} + \dfrac{p^{3}}{27}$ 是实系数三次方程 $x^{3} + px + q = 0$ 的判别式，求证:
(1) 若 $\Delta > 0$，则方程有1个实根和2个共轭复根;
(2) 若 $\Delta = 0$，则方程有3个实根，其中两个根相同;
(3) 若 $\Delta < 0$，则方程有3个互不相等的实根
43. 求证: 实系数方程 $x^{3} + px^{2} + qx + r = 0 $的根的实部全是负数的充要条件是
$$p > 0, r > 0, pq > r$$
44. 设 $\varepsilon$ 是 $1$ 的 $n$ 次根:
$$ \varepsilon = cos \dfrac{2\pi}{n} + isin \dfrac{2\pi}{n} $$
求证: $\varepsilon^{mi} (1 \le i \le n)$ 是 $x^{n} - 1 = 0$ 的全部根的充要条件是 $(m,n) = 1$
45. 设 $f(x)$ 是实系数首一多项式且无实数根，求证: $f(x)$ 可以表示为两个实系数多项式的平方和
5.8 有理系数多项式
利用整数、有理数以及实数的性质来讨论有理系数多项式的性质是一种常用的方法，在下面的几个例子中读者将体会到这一点
46. $f(x)$ 是次数大于零的首一整系数多项式，若 $f(0), f(1)$ 都是奇数，求证: $f(x)$ 没有有理根
47. 设 $f(x)$ 是实系数多项式，若对任意的有理数 $c, f(c)$ 总是有理数，求证: $f(x)$ 是有理系数多项式
48. 设 $f(x)$ 是有理系数多项式，$a,b,c$ 是有理数，但 $\sqrt{c}$ 是无理数. 求证: 若 $a+b\sqrt{c}$ 是$f(x)$ 的根，则 $a - b\sqrt{c}$ 也是 $f(x)$ 的根
下面的例题和5.48相似但是我们用极小多项式的方法证明，并且读者也可以试着用极小多项式证明5.48
49. 设 $f(x)$ 是有理系数多项式，$a,b,c,d$ 是有理数，但 $\sqrt{c}, \sqrt{d}, \sqrt{cd}$ 都是无理数. 求证: 若 $a\sqrt{c} + b\sqrt{d}$ 是 $f(x)$ 的根，则 下列数也是 $f(x)$ 的根:
$$ a\sqrt{c} - b\sqrt{d}, - a\sqrt{c} + b\sqrt{d}, - a\sqrt{c} - b\sqrt{d} $$
50. 求以 $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ 为根的次数最小的首一有理系数多项式
51. 求证: 有理系数多项式 $x^{4} + px^{2} + q$ 在有理数域上可约的充要条件是 或者 $px^{2} - 4q = k^{2}$ ，其中 $k$ 是一个有理数; 或者$q$ 是某个有理数的平方，且 $\pm2\sqrt{q} - p$ 也是有理数的平方
小老弟，看我手指这是几🖖
Eisenstein(爱森斯坦)判别法: 对于整系数多项式 $a_{n}x_{n} + a_{n-1}x_{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ 如果存在素数 $p$ 使得
-
p不整除 $a_{n}$，但是整除其他 $a_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, n)$
-
$p^{2}$ 不整除 $a_{0}$
那么 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的
Eisenstein判别法是判定有理数域上多项式不可约的最简单方法之一，比如在例5.52中取$p = p_{1} \dots p_{n}$，如果不能直接使用也可以做一个变换(5.53)
52. 设 $p_{1}, \dots, p_{m}$ 是 $m$ 个互不相同的素数，求证: 对任意的 $n \ge 1$，下列多项式在有理数域上不可约:
$$ f(x) = x^{n} - p_{1} \dots p_{n} $$