6.3 乘法交换性诱导的同时性质

矩阵乘法和线性交换的乘法运算一般没有交换性，这会触发很多与数的乘法运算不一样的性质和现象，因此矩阵和线性变换的不可交换性是 高等代数学习中的一个难点 . 反之，若两个矩阵或者线性变换乘法可交换，比如 $AB = BA$，则有 $(AB)^{m} = A^{m}B^{m}, f=(A)g(B) = g=(B)f(A)$ 以及二项式定理

$$ (A + B)^{m} = A^{m} + C_{m}^{m}A^{m-1}B + … + C_{m}^{m-1}AB^{m-1} + B^{m} $$

等成立，其中 $m ≥ 1, f(x),g(x)$为多项式.

本节将讨论矩阵和线性变换的乘法交换性诱导的相似关系下的性质，我们称之为“同时性质”，下面分成5步来讨论

1. 特征子空间互为不变子空间

6.35 设 $φ,ψ$ 是复线性空间 $V$ 上的乘法可交换的线性变换，即 $ψφ = φψ$，求证: $φ$ 的特征子空间是 $ψ$ 的不变子空间. $ψ$ 的特征子空间是 $φ$ 的不变子空间.

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注: 例题6.35是以下所有结论的出发点，并且它自身也有一些有趣的应用

6.36 设 $V$ 为 $n$ 维复线性空间. $S$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 的非空子集，满足：$S$ 中的全体线性变换没有非平凡的公共不变子空间. 设线性变换 $φ$ 与 $S$ 中任一线性变换乘法均可交换，请证明：$φ$ 是纯量变换

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注意：在上述证明中，$A,B,C$ 在不变子空间 $V_{0}$ 上的限制只能理解成线性变换在不变子空间上的限制，而不是矩阵在不变子空间上的限制，那如何得到 $A,B,C$ 在不变子空间上限制的表示矩阵呢(阶数变小了)，请大家自己思考

2. 有公共的特征向量

6.37 设 $φ,ψ$ 是复线性空间 $V$ 上的乘法可交换的线性变换，求证：$φ,ψ$ 至少有一个公共的特征向量

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注意：（1） 例6.35和6.37中的代数版本是：若 $n$ 阶复矩阵 $A,B$ 乘法可交换，即 $AB = BA$，则 $AB = BA$ ,则 $A,B$ 的特征子空间互为不变子空间，并且 $AB$ 至少有一个公共的特征向量.

（2）例题6.37的结论对一般的数域是不成立的. 例如 $A = I_{2}, B = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , 显然 $A,B$ 乘法可交换，但他们在有理数域或者实数域上没有公共的特征向量. 事实上，$B$ 在有理数域或实数域上都没有特征值(它的特征值是i和-i)，从而也没有特征向量，所以更谈不上公共的特征向量了。为了把例题6.35和例题6.37的结论都推广到数域 $F$ 上，那么我们必须假设 $A,B$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，这也是下面几道例题的条件

6.38 设 $φ,ψ$ 是复线性空间 $V$ 上的乘法可交换的线性变换，且 $ψ,φ$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$ψ,φ$ 的特征子空间互为不变子空间，并且 $ψ,φ$ 至少有一个公共的特征向量

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注意：例题6.38的代数版本是；若数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $AB$ 乘法可交换，且他们的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，则 $AB$ 的特征子空间互为不变子空间，并且 $A,B$ 在 $\mathbb{F}^{n}$ 中至少有一个公共的特征向量

3. 可同时上三角化

一般来说，一个矩阵在复数域上未必可以对角化(请举例)，但是总可以上三角化. 下面的例题6.39是上面的结论的推广，他告诉我们：只要数域 $\mathbb{F}$ 上的矩阵 $A$ 的特征值全部落在 $\mathbb{F}$ 中，那么就可以在 $\mathbb{F}$ 上将 $A$ 上三角化，并且这个方法具有普遍性

6.39. 设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$A$ 在 $\mathbb{F}$ 中可上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 是上三角矩阵

下面的例题6.40是所谓的同时上三角化问题，证明方法类似

6.40 设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，满足：$AB = BA$ 且 $A,B$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上可以同时上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP,P^{-1}BP$ 是上三角矩阵

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注意：例题6.39和6.40的几何语言的版本是：(大家自己想去吧，应该不难) 证明需要对商空间上的诱导的线性变换利用归纳假设(4.53)

6.32的延拓 设 $A, B, C$ 是 $n$ 阶矩阵，其中 $C = AB - BA$. 若他们满足条件 $AC = CA, BC = CB$，求证: $A,B,C$ 可同时上三角化

4. 可同时上三角化

6.41 设 $φ,ψ$ 是数域 $\mathbb{F}$ 线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $ψφ = φψ$，且 $φ,ψ$ 都可对角化，求证: $φ,ψ$ 可同时对角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的一组基，使得表示阵都是对角阵

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注意：例题6.341的代数语言的版本是：(大家自己想去吧，应该不难)

5. 从2个到n个的推广

上述所有结论可以推广到多个矩阵或者多个线性变换的情形，以下我们只有同代数语言的版本

6.42 设数域$\mathbb{F}$上的$n$阶矩阵 $A_{1},A_{2},…,A_{m}$ 两两乘法可交换，且他们的特征值都在$\mathbb{F}$，求证：在 $F^{n}$ 至少有一个公共的特征向量

6.43 设数域$\mathbb{F}$上的$n$阶矩阵 $A_{1},A_{2},…,A_{m}$ 两两乘法可交换，且他们的特征值都在$\mathbb{F}$，$A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上可以同时上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}A_{i}P(1 ≤ i ≤ m)$ 都是上三角矩阵

6.44 设数域$\mathbb{F}$上的$n$阶矩阵 $A_{1},A_{2},…,A_{m}$ 两两乘法可交换，且他们都可在 $\mathbb{F}$ 对角化，$A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上可以同时上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}A_{i}P(1 ≤ i ≤ m)$ 都是上三角矩阵

6.45 设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，满足：$AB = BA$ . 若 $A$ 是幂零矩阵，求证：$|A + B| = |B|$

在 9.13节 ，我们还将讨论由乘法交换性诱导的实对称矩阵的同时正交对角化，复正规矩阵的同时酉对角化以及实正规矩阵的同时正交标准化等问题，他们都是本节内容的自然延续