6.4 矩阵相似和可对角化的计算

6.4 矩阵相似和可对角化的计算

本节将从5个方面阐述矩阵相似和可对角化的计算相关的计算方法

(本节彩蛋，例题6.54 Fibonacci数列)

1. 相似初等变换及其应用

利用相似初等变换来讨论矩阵的相似问题是最常用的方法之一 . 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，容易验证以下三种变换都是相似变换，称为相似初等变换：

• (1) 对换 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行，再对换 $A$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列;

• (2) 将 $A$ 的第 $i$ 行乘以某个非零常数 $c$ ，再将第 $i$ 列乘以 $c^{-1}$;

• (3) 将 $A$ 的第 $i$ 行乘以某个非零常数 $c$ 加到第 $j$ 行，再将第 $j$ 列乘以 $-c$ 加到第 $i$ 列上;

设 $A$ 是具有相同的行列分块方式的分块矩阵，容易验证以下三种变换都是相似变换，我们称为相似分块初等变换

• (1) 对换 $A$ 的第 $i$ 分块行和第 $j$ 分块行，再对换 $A$ 的第 $i$ 分块列和第 $j$ 分块列;

• (2) 将 $A$ 的第 $i$ 分块行左乘以某个非异阵 $M$ ，再将第 $i$ 分块列右乘以 $M^{-1}$;

• (3) 将 $A$ 的第 $i$ 分块行左乘以某个非异阵 $M$ 加到第 $j$ 行，再将第 $j$ 分块列右乘 $-M$ 加到第 $i$ 分块列上;

容易验证：任意相似变换都是若干次相似初等变换的复合。下面我们给出相似初等变换应用的两个典型例题

6.46 设 $A = diag{A_{1},A_{2},…,A_{m}}$ 是分块对角阵，其中 $A_{i}$ 都是方阵，求证： $A = diag{A_{1},A_{2},…,A_{m}}$ 相似于 $A = diag{A_{i1},A_i{2},…,A_{im}}$ ，其中 $A_{i1},A_i{2},…,A_{im}$ 是 $A_{1},A_{2},…,A_{m}$ 的某个排列

6.47 设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $r(ABA) = r(B)$ ，求证：$AB$ 与 $BA$ 相似

利用相似不变量来判定矩阵不相似

相似的矩阵有相似的迹，行列式，特征多项式和极小多项式等，故他们北辰为矩阵相似关系下的相似不变量，因此如果两个矩阵的相似不变量不相同，则它们不相似

6.48 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，求证：$AB - BA$ 必不相似于 $kI_{n}$ ，其中 $k$ 是非零常数

6.49 设 $A,B$ 为 $n$ 阶正交阵，且线性方程组 $(A + B)x = 0$ 的解空间维数是奇数，，求证：$A$ 和 $B$ 必定不相似

3. 过度矩阵 $P$ 的计算

首先我们来介绍一下，当矩阵相似于对角矩阵的时候求过度矩阵的方法，设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值 $λ_{1},λ_{2},\dots,λ_{n}$ ，可逆矩阵 $P = {α_{1},α_{2},\dots,α_{n}}$ 为其分块列，且

$$ P^{-1}AP = diag{λ_{1},λ_{2},\dots,λ_{n}}, $$

则

$$ AP = P diag{λ_{1},λ_{2},\dots,λ_{n}}, $$

即

$$ (Aα_{1},Aα_{2},\dots,Aα_{n}) = (λ_{1}α_{1},λ_{2}α_{2},\dots,λ_{n}α_{n}) $$

于是就有 $Aα_{i} = λ_{i}α_{i}$ ，这表明 $α_{i}$ 就是属于特征值 $λ_{i}$ 的特征向量。因此 $P$ 的 $n$ 个列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。注意：因为特征向量不唯一，所以过度矩阵 $P$ 也不唯一。另外，$P$ 的第 $i$ 个列向量对应于 $A$ 的第 $i$ 个特征值，下面看例题

6.50 设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,1,4$ ，对应的特征向量依次为

$$ (2,1,0)’, (-1,0,1)’, (0,1,1)’ $$ 求矩阵 $A$

4. 可对角化判定的计算

6.51 已知矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 2 & x & 2\\ -3 & -3 & y \end{pmatrix} ,

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 02\\ 0 & 0 & z \end{pmatrix} $$ 相似。

（1）求 $x,y,z$ 的值；

（2）求一个满足 $P^{-1}AP = B$ 可逆矩阵 $P$

6.52 设

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2\\ -k & -1 & k\\ 4 & 2 & -3 \end{pmatrix}$ ，当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵，并求出 $P$ 和对角矩阵

可对角化矩阵的应用

6.53 设矩阵

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 2 & 4 & 2\\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ ，求 $A^{n}$

6.54 下列数列成为==称为$Fibonacci$数列

$$ a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 2, … $$

用递推式表示为 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$，试求 $Fiboinacci$ 数列通项的显式