6.5* 可对角化的判定(1)

矩阵或线性变换的可对角化判定是高等代数的一个重要知识点. 由于判定准则多且技巧性强，故可视化判定一直是教学以及考试中的难点和热点. 判定 $n$ 阶复矩阵 $A$ (或 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换 $φ$ )是否可对角化，通常有以下$7$种方法：

  • （1）$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

  • （2）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化

  • （3）$A$ 可对角化的充要条件是 $\mathbb{C}^{n}$ 是 $A$ 的特征子空间的直和

  • （4）$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有完全的特征向量系，即对 $A$ 的任一特征值，其几何重数等于其代数重数

  • （5）$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 的极小多项式无重根

  • （6）$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 的 $Jordan$ 块都是一阶的(或者 $A$ 的初等因子都是一次多项式)

  • （7）若 $A$ 相似于实对称矩阵或复对称矩阵，则 $A$ 可对角化.

上述的第五、六种方法将在 $\S 7.5$ 节进行讨论。另外例题7.42 也是可对角化判定准则的一个补充；第七种方法将放在 $§ 9.7$ 节的第4部分进行讨论；本节主要阐述可对角化判定的前$4$种方法.

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注意：若要考虑数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵(或 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 线性变换 $φ$) 在 $\mathbb{F}$ 上的可对角化问题，那么首先需要验证 $A(或 φ )$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，否则由可对角化的定义可知， $A(或 φ )$ 在 $\mathbb{F}$ 上必不可对角化. 若假设 $A(或 φ )$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，则 $A(或 φ )$ 在 $\mathbb{F}$ 上的可对角化准则也是上述前六种方法. 因此，为了突出重点，本节总是在复数域 $\mathbb{C}$ 上考虑可对角化问题. 请读者自行将某些例题推广到数域 $\mathbb{F}$ 的情形.

(本节彩蛋，例题6.54 Fibonacci数列)

1. 方法一：有 $n$ 个线性无关的特征向量

寻找 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，等价于寻找 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，下面来看两个典型例题

6.55 求证：复数域上的 $n$ 阶循环矩阵

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & … & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & … & a_{n-1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & … & a_{1} \end{pmatrix} $$ 可对角化，并求出它相似的对角阵及过度矩阵

6.56 设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 可对角化，证明：矩阵

$\begin{pmatrix} A & A^{2}\\ A^{2} & A \end{pmatrix}$ 也可对角化

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在例题6.14种，$M_{n}(\mathbb{F})$ 上的线性变换 $η$ 恰有 $n^{2}$ 个线性无关的特征向量，因此 $η$ 可对角化. 我们还有如下两个例题

6.57 设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AXA$ ，其中 $A ∈ V$ ，证明：若 $A$ 可对角化，则 $φ$ 也可对角化

6.58 设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XA$， 其中 $A ∈ V$ ，证明：若 $A$ 可对角化，则 $φ$ 也可对角化

2. 方法二：有 $n$ 个不同的特征值

由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 必有 $n$ 个线性无关的特征向量，从而可对角化，请注意 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值只是可对角化的充分条件，而非必要条件(也就是说可对角化的矩阵不一定有 $n$ 个不同的特征值). 不过在做题的过程中，这个判定方法还是很有用的，比如在例题6.34中，当 $0 < s ≤ 1 或 s ≥ 0$ 时，$n$ 阶矩阵 $A(s)$ 有 $n$ 个不同的特征值，从而可对角化，我们再来看几个典型例题

6.59 设 $A$ 是实二阶矩阵且 $|A| < 0$ ，求证：$A$ 实相似于对角阵

6.60 设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶矩阵，$A,B$ 各有 $n$ 个不同的特征值，又 $f(λ)$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $f(B)$ 是可逆矩阵. 求证：矩阵

$$ M = \begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix} $$ 相似于对角矩阵

6.61 设 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 有相同的特征值，且这 $n$ 个特征值互不相等，求证：存在 $n$ 阶矩阵 $P,Q$ 使得 $A = PQ, B = QP$

6.62 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个不同的特征值，并且 $AB = BA$，求证：$B$ 相似于对角阵(可以用几何代数两种角度)

6.63 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个不同的特征值，并且 $AB = BA$，求证：存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ ，使得 $B = f(A)$

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注意：若 $A$ 可对角化，则对任意的多项式 $f(x)$,我们的$f(A)$ 也可对角化. 事实上，设 $P$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP = diag{λ_{1},λ_{2},\dots,λ_{n}}$ 为对角矩阵，则 $P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP) = diag{f(λ_{1}),f(λ_{2}),\dots,f(λ_{n})}$ 也为对角阵，这一结论提醒我们：在处理可对角化问题时候，如能将矩阵携程可对角化矩阵的多项式，则往往讨论起来更加方便，来看例子

6.64 设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵且有 $n$ 个不同的特征值，求证：$n$ 阶复矩阵 $B$ 可对角化的充要条件是存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ ，使得 $B$ 相似于 $f(A)$.

下面的推论是例题6.55的推广

例题6.55推论 $n$ 阶复矩阵 $B$ 可对角化的充要条件是 $B$ 相似于某个循环矩阵

6.56 (新的证法) 设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 可对角化，证明：矩阵

$\begin{pmatrix} A & A^{2} \\ A^{2} & A \end{pmatrix}$ 也可对角化

6.65 设 $a,b,c$ 为复数且 $ba ≠ 0$，证明下列矩阵 $A$ 可对角化

$$ A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & a & b\\ & c & a & b\\ & & ⋱ & ⋱ & ⋱\\ & & & c & a & b\\ & & & & c & a \end{pmatrix} $$

3. 全空间等于特征子空间的直和

矩阵或线性变换可对角化当且仅当全空间等于特征子空间的直和这一判定准则，不仅给了我们很多几何想象的空间（如例题4.52的证法2），而且与矩阵和线性变换适合的多项式密切相关（如例题6.66），我们来看以下几道典型的例题

6.66 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合首一多项式 $g(x)$ ，并且 $g(x)$ 在复数域中无重根，证明：$A$ 可对角化

6.67 求证：

（1）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合 $A^{2} = I_{n}$，则 $A$ 必可对角化.

（2）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合 $A^{2} = A$，则 $A$ 必可对角化.

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在例题6.14中，$M_{n}(\mathbb{F})$ 上的线性变换 $η$ 满足 $η^{3} = I_{V}$，故 $η$ 可对角化

4.52 （新的证法）

4. 有完全的特征向量系

矩阵和线性变换有完全的特征向量系，即任一特征值的代数重数等于其几何重数，也就是说特征值无线性无关的特征向量完全一一对应. 无论从计算的层面看 (如例题6.51和例题6.52)，还是从证明的层面上看，这都是一个十分实用的判定可对角化的方法，下面我们来砍几刀典型例题

6.68 若矩阵 $A,B$ 有完全的特征向量系，求证：

$ \begin{pmatrix} A&B\\ O&B \end{pmatrix} $ 也有完全的特征向量系

6.69 设 $n$ 阶矩阵

$ \begin{pmatrix} I_{r}&B\\ O&-I_{n-r} \end{pmatrix} $ 求证： $A$ 可对角化（请用三种证法证明）

以下是 $\S 6.2$ 的四道例题，在那里已经计算出全部特征值，只需要在计算出几何重数即可，便可得到矩阵可对角化的充要条件，请大家自行证明

  • 6.6 充要条件是 $a = b = 0$ 或 $ab ≠ 0$

  • 6.20 $I^{n} - 2αα^{’}$ 可对角化

  • 6.21 $Aαβ^{’}$ 可对角化的充要条件是 $β^{’}Aα ≠ 0$ 或 $Aαβ^{’} = O$

  • 6.22 *****

下面的这个例题是例题6.60和6.69的推广

6.70 设 $m$ 阶矩阵 $A$ 与 $n$ 阶矩阵 $B$ 没有公共的特征值，且 $A,B$ 均可对角化，又 $C$ 为 $m × n$ 矩阵，求证：

$M =\begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix}$ 也可对角化

在某种意义下，例题6.71在某种意义上可以看成是6.70的逆命题

6.71 设$A$ 为 $m$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，$C$ 为 $m × n$ 阶矩阵

$ M=\begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix} $

求证：若 $M$ 可对角化，则 $A,B$ 均可对角化

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注意：例题6.71的几何版本是：设 $φ$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $φ-$ 不变子空间，若 $φ$ 可对角化，则 $φ$ 在不变子空间上的限制变换 $φ|_{U}$ 以及 $φ$ 在商空间 $V/U$ 上的诱导变换 $\overline{φ} $ 均可对角化

6.72 设$A$ 为 $m×n$ 阶矩阵,$B$ 为 $n×m$ 阶矩阵，又 $|BA| ≠ 0$ 求证：$AB$ 可对角化的充要条件是 $BA$ 可对角化

3.94（解法3）

下面是关于证明不能对角化的例题，这方面我们基本是用反证法来转化

6.73 求证：

（1）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值都是 $λ_{0}$ ，但 $A$ 不是纯量矩阵，则 $A$ 不可对角化，特别地，非零的幂零矩阵不可对角化

（2）若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 适合 $A^{2} + A + I_{n} = O$ 则 $A$ 在实数域上不可对角化

下面最后一题告诉我们：例题6.72中的条件 $|BA| ≠ 0$ 是必要的

6.74 设 $n(n>1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $1$ ，求证：$A$ 可对角化的充要条件是 $tr(A) ≠ 0$

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