6.6 极小多项式与Cayley-Hamiltoon定理

$§$ 6.6 极小多项式与Cayley-Hamiltoon定理

极小多项式是矩阵与线性变换的一个相似不变量，他在相似标准型理论中起到了重要的作用. 例如，极小多项式是矩阵或线性变换不变因子组中最大的那个不变因子，矩阵或线性变换可对角化当且仅当极小多项式无重根. 类似于代数数的极小多项式（例题5.18）矩阵或线性变换的极小多项式也要整除其适合的任一多项式，由于这一基本性质也能证明极小多项式的存在唯一性. 由于两个非零矩阵相乘可能会等于零矩阵，因此矩阵或线性变换的极小多项式可能不是不可约多项式. 而这一点和代数数的极小多项式有本质区别

$Cayley-Hamiltoon$ 定理是高等代数最重要的定理之一，他告诉我们矩阵或线性变换必定适合它的特征多项式. 一方面，$Cayley-Hamiltoon$ 定理在矩阵或线性变换以及多项式理论之间建立了一个桥梁，使我们能够深入研究矩阵和线性变换的相似标准型理论. 另一方面，$Cayley-Hamiltoon$ 定理也是一个强有力的工具，他在很多问题的解答过程中起到了关键性作用. 由极小多项式基本性质和$Cayley-Hamiltoon$ 定理可知，矩阵或线性变换的极小多项式必整除其特征多项式. 在本节中，我们将从5个方面探讨极小多项式的性质以及$Cayley-Hamiltoon$ 定理的相关应用

1. 极小多项式性质

6.75 设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的极小多项式为 $m(x)$. 求证：

$\mathbb{F}|A| = {f(A) | f(x) \in \mathbb{F}[x] }$ 是 $M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间，且 $dim\mathbb{F}[A] = deg m(x)$

6.76 求证：

（1）相似的矩阵具有相同的极小多项式

（2）矩阵及其转置有相同的极小多项式

6.77 设 $A = diag{A_{1},A_{2},…,A_{k}}$ 为分块对角矩阵，其中 $A_{i}$ 都是方阵，求证：$A$ 的极小多项式 等于诸 $A_{i}$ 的极小多项式之最小公倍式

6.78 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化，$λ_{1},λ_{2},…,λ_{k}$ 是 $A$ 的全体不同的特征值，试着求 $A$ 的极小多项式

6.79 设 $m(x)$ 是 $A$ 的极小多项式，$λ_{0}$ 是 $A$ 的特征值，求证：$(x - λ_{0}) | m(x)$

6.80 设 $m(x)$ 和 $f(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的极小多项式和特征多项式，求证：若不计重数，$m(x)$ 和 $f(x)$ 有相同的根

6.81 设 $m(x)$ 和 $f(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的极小多项式和特征多项式，求证：$f(x) | m(x)^{n}$

6.82 设 $n(n > 1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $1$ ，求证：$A$ 的极小多项式为 $x^{2} - tr(A)x$

6.83 设 $f(x)$ 和 $m(x)$ 分别是 $m$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式和极小多项式，$g(x)$ 和 $n(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $B$ 的特征多项式和极小多项式，证明以下结论等价：

• （1）$A,B$ 没有公共的特征值
• （2）$(f(x),g(x)) = 1$ 或 $(f(x),n(x)) = 1$ 或 $(m(x),g(x)) = 1$
• （3）$f(B)$ 或 $m(B)$ 或 $g(A)$ 或 $n(A)$ 是可逆矩阵

6.84 设 $f(x)$ 和 $m(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式和极小多项式，$g(x)$ 是一个多项式，求证：$g(A)$ 是可逆矩阵的充要条件是 $(f(x),g(x)) = 1$ 或 $(m(x),g(x)) = 1$

6.85 证明：$n$ 阶方阵 $A$ 为可逆阵的充要条件是 $A$ 的极小多项式的常数项不为零

2. $Cayley-Hamilton$ 定理的应用：逆矩阵和伴随矩阵的多项式表示

6.86 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，求证：$A^{-1} = g(A) $，其中 $g(x)$ 是一个 $n-1$ 次多项式

6.87 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，证明：伴随矩阵 $A^{*} = h(A)$ ，其中 $h(x)$ 是一个 $n-1$ 次多项式

3. $Cayley-Hamilton$ 定理的应用：$AX = XB$ 型矩阵方程的求解及其应用

6.88 设 $A$ 为 $m$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，求证：若 $A,B$ 没有公共的特征值，则矩阵方程 $AX = XB$ 只有零解 $X = O$

6.89 设 $A = diag{A_{1},A_{2},…,A_{m}}$ 为 $n$ 阶对角分块矩阵，其中 $A_{i}$ 是 $n_{i}$ 阶矩阵且两两没有公共的特征值. 设 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $AB = BA$ ，求证：$B = diag{B_{1},B_{2},…,B_{m}}$ ，其中 $B_{i}$ 是 $n_{i}$ 阶矩阵

6.90 设 $A = diag{A_{1},A_{2},…,A_{m}}$ ，为 $n$ 阶分块对角矩阵，其中 $A_{i}$ 是 $n_{i}$ 阶矩阵且两两没有公共的特征值. 设 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $AB = BA$ 求证：$B = diag{B_{1},B_{2},…,B_{m}}$ 其中 $B_{i}$ 是 $n_{i}$ 阶矩阵

6.91 设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m × n$ 阶矩阵全体所构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XB$ . 求证：$φ$ 是线性自同构的充要条件是 $A,B$ 没有公共的特征值，此时，对任一的 $m × n$ 矩阵 $C$ ，矩阵方程 $AX - XB = C$ 存在唯一解

6.92 设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的所有特征值都是正实数，证明：对任一实对称矩阵 $C$ ，存在唯一的实对称矩阵 $B$ 满足 $A’B + BA = C$

6.70(证法2)

4. $Cayley-Hamilton$ 定理的应用：特征多项式诱导的直和分解

6.93 设 $φ$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，又有两个复系数多项式：

$$ f(x) = x^{m} + a_{1}x^{m-1} + … +a_{m}. g(x) = x^{n} + b_{1}x^{n-1} + … +b_{n} $$ 设 $\sigma = f(φ),τ = g(φ)$ ，矩阵 $C$ 是 $f(x) $ 的友阵，即

$$ C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & … & -a_{m} \\ 1 & 0 & 0 & … & -a_{m-1} \\ 0 & 1 & 0 & … & -a_{m-2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & -a_{1} \end{pmatrix} $$ 若 $g(C)$ 是可逆矩阵，求证：$Ker \ σ τ = Ker σ ⊕ Ker τ$

6.94 设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式是 $f(λ)$ 且 $f(λ) = f_{1}(λ)f_{2}(λ)$ ，其中 $f_{1}(λ),f_{2}(λ)$ 是互素的首一多项式. 令 $V_{1} = Ker \ f_{1}(φ), V_{2} = Ker \ f_{2}(φ)$ ，求证：

（1）$V_{1},V_{2}$ 是 $φ-$ 不变子空间且 $V = V_{1} ⊕ V_{2}$;

（2）$V_{1} = Im \ f_{2}(φ), V_{2} = Im \ f_{1}(φ)$

（3）$φ|{V{1}}$ 的特征多项式是 $f_{1}(λ), φ|{V{2}}$ 的特征多项式是 $f_{2}(λ)$

5. $Cayley-Hamilton$ 定理的其他应用

6.95 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$C$ 为 $k × n$ 矩阵，且对任意的 $λ \in \mathbb{C}$

$ \begin{pmatrix} A - \lambda I_{n}\\ C \end{pmatrix} $

均为列满秩矩阵，证明：对任意的$λ \in \mathbb{C}$ ， $ \begin{pmatrix} C\\ C(A - \lambda I_{n})\\ C(A - \lambda I_{n})^{2}\\ ⋮\\ C(A - \lambda I_{n})^{n-1} \end{pmatrix} $ 均为列满秩矩阵

6.96 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 阶矩阵，分块矩阵 $(B,AB,…,A^{n-2}B,A^{n-1}B)$ 的秩为 $r$，证明 :存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得

$$ P^{-1}AP = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ O & A_{22} \end{pmatrix} , P^{-1}B = \begin{pmatrix} B_{1} \\ O \end{pmatrix} $$ 其中 $A_{11}$ 是 $r$ 阶矩阵， $B$ 是 $r × m$ 阶矩阵

6.97 设 $A$ 数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，递归地定义矩阵序列 ${A_{k}}_{k=1}^{∞}$ 如下

$$ A_{1} = A,\ p_{k} = -\dfrac{1}{k} tr(A_{k}), A_{k+1} = A(A_{k} + p_{k}I_{n}), k = 1,2,… $$ 求证：$A_{n+1} = O$