6.7 矩阵的 $Kronecker$ 和

$§$ 6.7 矩阵的 $Kronecker$ 和

矩阵的 $Kronecker$ 和是一个重要的概念，他在数学的众多领域中都有着重要的应用，利用多重线性代数的理论可以证明：两个线性映射的张量积的表示矩阵是他们的表示矩阵的Kronecker积 . 这就是矩阵的 $Kronecker$ 和的几何意义，也是矩阵的 $Kronecker$ 和与张量积采用相同运算符号的原因

定义

$定义$ : 设 $A = (a_{ij})$ 和 $B = (b_{ij})$ 分别是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m × n$ 和 $k × l$ 阶矩阵，他们的 $kronecker$ 和 $A ⊕ B$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $mk × nl$ 矩阵： $$ A ⊕ B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & … & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & … & a_{2n}B \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}B & a_{m2}B & … & a_{mn}B \end{pmatrix} $$

6.98 证明：矩阵的 $Kronecker$ 和满足下列性质（假设矩阵加法和乘法都有意义）：

• （1）$(A + B) ⊕ C = A ⊕ C + B ⊕ C , A ⊕ (B + C) = A ⊕ B + A ⊕ C$;
• （2）$(kA) ⊕ B = k(A ⊕ B) = A ⊕ (kB)$;
• （3）$(A ⊕ C)(B ⊕ D) = (AB) ⊕ (CD)$;
• （4）$(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)$;
• （5）$I_{m} ⊕ I_{n} = I_{mn}$;
• （6）$(A ⊕ B)’ = A’ ⊕ B’$;
• （7）若 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，则 $A ⊕ B$ 也是可逆矩阵，并且 $$ (A ⊕ B)^{-1} = A^{-1} ⊕ B^{-1} $$
• （8）若 $A$ 是 $m$ 阶矩阵，$B$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $|A ⊕ B| = |A|^{n} |B^{m}|$;
• （9）若 $A$ 是 $m$ 阶矩阵，$B$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $tr(A ⊕ B) = tr(A) ⋅ tr(B)$

6.99 设 $A$ 和 $B$ 分别是 $m × n$ 和 $k × l$ 阶矩阵，求证：$A ⊕ B$ 是行满秩（列满秩）的充要条件是 $A,B$ 均为行满秩（列满秩）矩阵

6.101 设 $A$ 和 $B$ 分别是 $m , n$ 阶矩阵，$A$ 的特征值为 $λ_{i}$ （$1 ≤ i ≤ m$），$B$ 的特征值为 $μ_{j}$ （$1 ≤ j ≤ n$），求证：$A ⊕ B$ 的特征值为 $λ_{i}μ_{j}$ （$1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n$）

6.102 （这个例子是例题6.1的推广）

设 $A,B$ 分别是 $m , n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AXB$ ，设 $A$ 的特征值为 $λ_{i}$ （$1 ≤ i ≤ m$），$B$ 的特征值为 $μ_{j}$ （$1 ≤ j ≤ n$）求证：线性变换 $φ$ 的特征值为 $λ_{i}μ_{j}$ （$1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n$）

6.103 设 $A,B$ 分别是 $m , n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AXB$ ，设 $A$ 的特征值为 $λ_{i}$ （$1 ≤ i ≤ m$），$B$ 的特征值为 $μ_{j}$ （$1 ≤ j ≤ n$）求证：$φ$ 是线性自同构的充要条件是 $A,B$ 都是可逆矩阵（例题4.16是本题的特例，下面还有两种证法）

6.104 设 $A,B$ 分别是 $m , n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AXB$ ，设 $A$ 的特征值为 $λ_{i}$ （$1 ≤ i ≤ m$），$B$ 的特征值为 $μ_{j}$ （$1 ≤ j ≤ n$）求证：$φ$ 是幂零变换的充要条件是 $A,B$ 至少有一个是幂零矩阵

6.57

6.105 设 $A,B$ 分别是 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XB$ ， 设 $A$ 的特征值为 $λ_{i}$ （$1 ≤ i ≤ m$），$B$ 的特征值为 $μ_{j}$ （$1 ≤ j ≤ n$）求证：线性变换 $φ$ 的特征值为 $λ_{i} - μ_{j}(1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n)$

6.91

6.106 设 $A,B$ 分别是 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XB$ ，其中 $A \in V$，证明：$φ$ 是幂零变换的充要条件是存在 $λ_{0} ∈ \mathbb{C}$ 使得 $A - λ_{0}I_{n}$ 是幂零矩阵

6.107 设 $V$ 为 $m , n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. $V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XA$ ，其中 $A ∈ V$，证明：$φ$ 是幂零线性变换的充要条件是存在 $λ_{0} ∈ \mathbb{C}$ 使得 $A - λ_{0}I_{n}$ 是幂零矩阵

6.58

6.108 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵，$g(λ) = |λI_{n} + A|$ 求证： $n^{2}$ 阶矩阵

$$ B = \begin{pmatrix} a_{11}I_{n} + A & a_{12}I_{n} & … & a_{1n}I_{n} \\ a_{21}I_{n} & a_{22}I_{n} + B & … & a_{2n}I_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1}I_{n} & a_{n2}I_{n} & … & a_{nn}I_{n} + A
\end{pmatrix} $$ 是可逆矩阵的充要条件是 $g(A)$ 是可逆矩阵