$§$ 7.10 $Jordan$ 标准型的几何
矩阵或线性变换的标准型理论可采用代数方法或几何方法来阐述. 我们在教材《高等代数学》中采用的是代数方法,即用 $λ-$ 矩阵的方法来求有理标准型和 $Jordan$ 标准型 . 另一种常用的方法是几何方法,在本书中我们将详细介绍 $Jordan$ 标准型的几何构造和几何意义. 这两种方法各有长处,代数方法不仅证明了有理标准型和 $Jordan$ 标准型的存在性,而且给出了这两类标准型的计算方法,特别适合初学者理解和掌握;几何方法能快捷地证明标准型的存在性,但仍然需要进一步的计算才能完全确定标准型(参考例题7.52). 由于几何方法比较直观,利于读者从几何层面上把握矩阵或者线性变换的相关性质,因此同时掌握这两种方法不失为增加一个类似"Linear algebra done right"的新视角。
1. $Jordan$ 标准型的几何构造
下面的例题是例题6.94的推广
7.87 设 $φ$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维数线性空间 $V$ 上的线性变换,特征多项式与极小多项式分别为 $f(λ)$ 和 $m(λ)$ ,其不可约分解为
$$ f(λ) = P_{1}(λ)^{r_{1}} P_{2}(λ)^{r_{2}} ⋯ P_{t}(λ)^{r_{t}} ,
m(λ) = P_{1}(λ)^{s_{1}} P_{2}(λ)^{s_{2}} ⋯ P_{t}(λ)^{s_{t}} $$
其中 $P_{i}(λ)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式,$r_{i} > 0, s_{i} > 0$ . 设 $V_{i} = Ker P_{i}(φ)^{r_{i}},U_{i} = Ker P_{i}(φ)^{s_{i}},1 ≤ i ≤ t$,求证:
(1)$V = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ ⋯ ⊕ V_{t},U_{i} = V_{i} (1 ≤ i ≤t)$ ;
(2)$φ|{V{i}}$ 的特征多项式为 $P_{i}(λ)^{s_{i}}$ . 特别地,$dim V_{i} = r_{i} deg{P_{i}(λ)}$
7.88 设 $φ$ 为 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换,其特征多项式的不可约分解为 $f(λ) = (λ - λ_{1})^{r_{1}}(λ - λ_{2})^{r_{2}} ⋯ (λ - λ_{k})^{r_{k}}$ ,其中 $λ_{1},λ_{2},⋯λ_{k}$ 是 $φ$ 的全体不同特征值. 令 $V_{i} = Ker(φ - λ_{i}I)^{r_{i}}$ ,证明:
$$ V = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k} \tag{7.16} $$
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注:事实上,$V_{i}$ 就是 $φ$ 的根子空间(参考《高等代数学》教材的定义 $§7.7.2$ 之前的证明),故 $(7.16)$ 式可知,要求 $V$ 的一组基,使得 $φ$ 的表示矩阵相对简单的问题可归结为求 $V_{i}$ 的一组基,使得 $φ|{V{i}}$ 的表示矩阵相对简单. 又因为 $φ|{V{i}} -λ_{i}I$ 在 $V_{i}$ 上是幂零的,故只要对幂零线性变换求出其 $Jordan$ 标准型即可
7.89 设 $φ$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的幂零线性变换,证明:存在 $V$ 的一组基,使得 $ψ$ 在这组基下的表示矩阵为 $diag{J_{r_{1}}(0),J_{r_{2}}(0),⋯,J_{r_{s}}(0) }$ ,其中 $J_{r_{i}}(0)$ 是零特征值的 $r_{i}$ 阶 $Jordan$ 块
将例题7.88和例题7.89合在一起,即得 $Jordan$ 标准型的几何构造:
小老弟,你484傻
定理:设 $φ$ 为 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换,则存在 $V$ 的一组基 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ ,使得 $φ$ 在这组基下的表示矩阵为 $Jordan$ 标准型 $J = diag{J_{r_{1}}(λ_{1}),J_{r_{2}}(λ_{2}),⋯,J_{r_{k}}(λ_{k})}$
2. $Jordan$ 标准型的几何意义
从空间分解的角度看,全空间 $V$ 可分解为不同特征值的根子空间的直和,再由例题7.89的证明过程可知,每个根子空间可分解为若干个循环子空间的直和,因此全空间 $V$ 可分解为若干个循环子空间的直和
$$ V = C(φ - λ_{1}I_{V},e_{r_{1}}) ⊕ C(φ - λ_{2}I_{V},e_{r_{1} + r_{2}}) ⊕ ⋯ ⊕ C(φ - λ_{k}I_{V},e_{n}) \tag{7.17} $$
其中循环子空间 $C(φ - λ_{i}I_{V},e_{r_{1} + ⋯ + r_{i}})$ 与 $Jordan$ 块 $J_{r_{i}}(λ_{i})$ 一一对应.
这就是 $Jordan$ 标准型的几何意义
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具体来看 $Jordan$ 块 $J_{r_{1}}(λ_{1})$ 对应的循环子空间 $C(φ - λ_{1}I_{V},e_{r_{1}})$. 由表示矩阵的定义可知
$$ φ(e_{1}) = λ_{1} e_{1} , φ(e_{2}) = e_{1} + λ_{1} e_{2}, ⋯ , φ(e_{r_{1}}) = e_{r_{1}-1} + λ_{1} e_{r_{1}} $$
令 $φ_{1} = φ - λ_{1}I_{V}$ ,则有如下的循环轨道 $$ e_{r_{1}} \stackrel{φ_{1}}{⟶} e_{r_{1}-1} \stackrel{φ_{1}}{⟶} ⋯ \stackrel{φ_{1}}{⟶} e_{2} \stackrel{φ_{1}}{⟶} e_{1} \stackrel{φ_{1}}{⟶} 0 $$
反之,一个循环轨道也定义了一个循环子空间 $C(φ - λ_{1}I_{V},e_{r_{1}})$ 因此,全空间 $V$ 的循环子空间直和分解 $(7.17)$ 一一对应于 $V$ 的一组基 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 分解为若干条互不相交的循环轨道的开集.
注:$Jordan$ 标准型诱导的循环子空间直和分解与有理标准型诱导的循环子空间直和分解是不同的. 下面以 $C(φ - λ_{1}I_{V},e_{r_{1}})$ 为例进行说明:
- 它是关于 $φ - λ_{1}I_{V}$ (而不是关于 $φ$ )的循环子空间;
- 它的循环向量是 $J_{r_{1}}(λ_{1})$ 对应的基向量中的最后一个向量 $e_{r_{1}}$;
- 特别要求 $e_{1} \stackrel{φ - λ_{1}I_{V}}{\longrightarrow} 0$ ,这是 $Jordan$ 块所特有的,一般的循环子空间并没有这个要求
$Jordan$ 标准型的几何意义有很多有趣的应用,例如在 $§ 7.7$ ,我们利用循环轨道给出了求 $Jordan$ 标准型的过渡矩阵的第三种求法 . 下面来看三个应用
例题7.89的证法2 我们用循环矩阵来给出一个更直接的证明, 对 $V$ 的维数进行归纳. 当 $n = 1$ 时结论显然. 设维数小于 $n$ 时结论成立,下面证明 $n$ 维的情形(请大家自己思考)
7.55
我们还可以利用循环轨道来计算不变子空间的个数. 虽然下面的例题与例题4.51(取一组基 ${x^{i}/i! (0 ≤ i \le n-1)}$)和第四章的解答题5(相差一个转置)完全类似,但这里我们给出另外两种不同的证明
7.90 设 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换 $φ$ 在一组基 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 下的表示矩阵为 $Jordan$ 块 $j_{n}(λ_{0})$ ,求所有的 $φ-$ 不变子空间
7.91 设 $φ$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换,其特征多项式 $f(λ)$ 等于其极小多项式 $m(λ)$ ,求所有的 $φ-$ 不变子空间
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注:若 $f(λ) ≠ m(λ)$ ,则存在某个特征值 $λ_{0}$ 他至少有两个初等因子,从而其特征子空间的维数大于等于2.故此时 $V$ 有无穷多个 $φ-$ 不变子空间. 由此可得:$n$ 维复线性空间 $V$ 是循环空间 $C(φ,α)$ 的充要条件是 $V$ 只有有限个 $φ-$ 不变子空间
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