$§$ 7.2 矩阵相似的全系不变量
利用等价关系对矩阵进行分类，这是一种常见的研究方法，通常有三个步骤，首先，引入矩阵之间的一种等价关系，它将矩阵全体分成互不相交的等价类的并集. 其次，找出矩阵在等价关系下的全系不变量，即两个矩阵等价当且仅当他们的全系不变量相等. 最后，在每一个等价类中，找出一个相对简单的矩阵作为代表元，称之为等价关系的标准型. 例如，矩阵在相抵关系下的全系不变量就是矩阵的秩， $ \begin{pmatrix} I_{r} & O\\ O & O \end{pmatrix} $ 就是相抵标准型.
那么矩阵在相似关系下的全系不变量是什么？相似标准型具有怎样的形状呢？在教材[1]（绿皮书）中，我们利用 $λ$-矩阵相似的3组全系不变量，分别是行列式因子组，不变因子组和初等因子组，；给出了两类相似标准型，分别是基于不变因子的有理标准型和复数域上的基于初等因子的 $Jordan$ 标准型. 本节我们将从 $4$ 个方面阐述如何利用相似关系的全系不变量去处理矩阵的相似问题.
1. 矩阵相似的判定准则一：特征矩阵相抵
两个 $n$ 阶数字矩阵 $A,B$ 相似当且仅当它们的特征矩阵 $λI_{n} - A, λI_{n} - B$ 作为 $λ$-矩阵相抵. 这一判定标准是求出矩阵相似全系不变量的出发点，它自身也有一些有趣的应用，我们来看下面两道典型例题
7.1 设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$λI_{n} - A$ 相抵于 $diag{f_{i_{1}}(λ),f_{i_{2}}(λ),…,f_{i_{n}}(λ)}$ ，其中 $f_{i_{1}}(λ),f_{i_{2}}(λ),…,f_{i_{n}}(λ)$ 是 $f_{1}(λ),f_{2}(λ),…,f_{n}(λ)$ 的一个排列. 求证：$A$ 与 $B$ 相似
7.2 设 $n$ 阶矩阵 $A,B,C,D$ 中 $A,C$ 可逆，求证：存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得 $A = PCQ，B = PDQ$ 的充要条件是 $λA - B$ 与 $λC - D$ 相抵.
2. 矩阵相似的判定准则二：有相同的行列式因子组
7.3 求证：对任意的 $b ≠ 0, n$ 阶矩阵 $A$ 都与它的转置 $A’$ 相似
7.4 求证：对任意的 $b ≠ 0, n$ 阶方阵 $A(a,b)$ 均可相互相似：
$$ A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b & … & b & b\\ & a & ⋱ & ⋱ & b\\ & & ⋱ & ⋱ & ⋮\\ & & & a & b\\ & & & & a \end{pmatrix} $$
小老弟，看我手指这是几🖖
注意：（1）在上（下）三角矩阵（如友阵或$Frobenius$ 块）中，若上（下）次对角线上的元素全部非零，可以尝试计算行列式因子组，对一般的矩阵（如数字矩阵），不建议计算行列式因子组，推荐使用 $λ$-矩阵的初等变换计算法式，得到不变因子组. （2）注意到 $A(a,0) = aI_{n}$ 的行列式因子组为 $D(λ) = (λ - a)^{i}(1 ≤ i ≤ n)$ . 因此，在求相似标准型的过程中，千万注意不能使用摄动法
3. 矩阵相似的判定法则三：有相同的不变因子组
在 $\S$ 7.1.2 定理7可知，所有不定因子的乘积等于特征多项式，整除关系下最大的那个不变因子等于极小多项式. 因此，确定特征多项式和极小多项式可帮助确定不变因子组. 下面来看几个典型的例题.
7.5 设 $A$ 是 $n$ 阶 $$ 次幂零矩阵，即 $A^{n} = O$ 但 $A^{n-1} ≠ O$ . 若 $B$ 也是 $n$ 阶 $n$ 次幂零矩阵，求证：$A$ 相似于 $B$
7.6 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明以下三个结论等价：
（1） $A = cI_{n}$ ,其中 $c$ 为常数 （2）$A$ 的 $n-1$ 阶行列式因子是一个 $n-1$ 次多项式； （3）$A$ 的不变因子组中无常数.
7.7 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值全为$1$，求证：对任意的正整数 $k$，$A^{k}$ 与 $A$ 相似
7.8 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值全为$1$ 或 $-1$，求证：$A$ 与 $A^{-1}$ 相似
4. 矩阵相似的判定准则四：有相等的初等因子组
下面两个例题是 $\lambda$-矩阵和初等因子组的基本性质，我们会在后面用到
7.9 设 $f(λ),g(λ)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的首一多项式，$d(λ) = (f(λ),g(λ)),m(λ) = |f(λ),g(λ)|$ 分别是 $f(λ),g(λ)$ 的最大公因式和最小公倍式，证明以下 $λ$-矩阵相抵
$$ \begin{pmatrix} f(λ) & 0\\ 0 & g(λ) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} g(λ) & 0\\ 0 & f(λ) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} d(λ) & 0\\ 0 & m(λ) \end{pmatrix} $$