$§$ 7.3 有理标准型的几何与应用
有理标准型是利用不变因子组构造的相似标准型. 从因式分解的层级看，不变银子组并非是最简单的相似关系全系不变量，从而有理标准型也并非是最简单的相似标准型，比如 $Frobenius$ 块有时比较大等等. 然而有理标准型在任意的数域 $\mathbb{K}$ 上均存在，因此具有广泛的用途. 本节将从有理标准型的几何意义以及在矩阵理论中的应用这两个方面阐述
1. 有理标准型的几何意义
定义（循环空间）
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间，$φ$ 是 $V$ 上的线性变换. 设 $0 ≠ α ∈ V$ ，则 $U = L(α,φ(α),…)$ 称为 $V$ 的循环子空间，记为 $U = C(φ,α)$，$α$ 称为 $U$ 的 循环向量，显然，循环子空间的 $U$ 是 $V$ 的不变子空间，并且是包含 $α$ 的最小 $φ$-不变子空间. 若 $U = V$ 则称 $V$ 为循环空间
7.12 设 $U = C(φ,α)$ 为循环子空间，若 $dimU = r$，求证：${α,φ(α),…,φ^{r-1}(α)}$ 是 $U$ 的一组基
7.13 设 $U$ 是 $V$ 的 $φ$-不变子空间，求证：$U$ 为循环子空间的的充要条件是 $φ_{U}$ 在 $U$ 的某组基下的表示矩阵为某个首一多项式的友阵
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一般地，设线性变换 $φ$ 的不变因子组为 $1,1,…,d_{1}(λ),…,d_{k}(λ)$ ，其中 $d_{i}(λ)$ 是非常数首一多项式，$d_{1}(λ)|d_{i+1}(λ)(1 ≤ i ≤ k-1)$ ，则由有理标准型理论可知，存在 $V$ 的一组基，使得 $φ$ 在这组基下的表示矩阵为 $$ C = diag{C(d_{1}(λ)),C(d_{2}(λ)),…,C(d_{k}(λ))} $$ 结合例题7.13的讨论可知，此时 $V$ 有一个循环子空间的直和分解： $$ V = C(φ,α_{1})\ ⊕\ C(φ,α_{2})\ ⊕ … ⊕ \ C(φ,α_{k}), \tag{7.6} $$
使得 $φ|{C(φ,\alpha{1})}$ 在基 ${α_{i},φ(α_{i}),…,φ^{r_{i}-1}(α_{i})}$ 下的表示矩阵就是友阵 $C(d_{i}(λ))$，其中 $r_{i}(λ) = dimC(φ,α_{1})$. 线性变换 $φ$ 的有理标准型诱导的 $V$ 的上述子空间直和分解 $(7.6)$ 就是有理标准型的几何意义
下面依次给出上面的几何意义的一些几何应用，首先是循环空间的刻画.
7.14 设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间的线性变换，$φ$ 的特征多项式和极小多项式分别为 $f(λ)$ 和 $m(λ)$ ，证明以下四个结论等价：
（1）$φ$ 的行列式因子组或不变因子组为 $1,…,1,f(λ)$;
（2）$φ$ 初等因子组为 $P_{1}(λ)^{r_{1}},P_{2}(λ)^{r_{2}},…,P_{1}(k)^{r_{k}}$ ,其中 $P_{i}$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式，$r_{i} ≥ 1,1 ≤ i ≤ k$;
（3）$φ$ 的极小多项式 $m(λ)$ 等于特征多项式 $f(\lambda)$ ;
（4）$V$ 是关于线性变换 $φ$ 的循环空间
7.15 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，求证：$A$ 的特征多项式和极小多项式相等
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注：设特征值 $λ_{i}$ 对应的特征向量为 $α_{i}$ ，则 ${α_{1},α_{2},\dots,α_{n}}$ 为 $\mathbb{C}^{n}$ 的循环向量. 事实上，由 $A^{k}α = λ_{1}^{k}α_{1} + … + λ_{n}^{k}α_{n}$ ，利用 $Vandermonde$ 行列式容易证明 ${α,Aα,…,A^{n-1}α}$ 是 $\mathbb{C}$ 的一组基，从而 $\mathbb{C}^{n} = L(α,Aα,…,A^{n-1}α) = C(A,α)$ 为循环空间，$α$ 是循环向量
7.16 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(x) = P_{1}(λ)P_{2}(λ)…P_{k}(λ)$ ，其中 $P_{i}(λ)(1 ≤ i ≤ k)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式. 求证： $A$ 的有理标准型只有一个 $Frobenius$ 块，并且 $A$ 在复数域上可对角化
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注：我们也可以利用例题7.14和初等因子证明第一个结论. 若利用不变因子在基域扩张下的不变性，则第一个结论也可由例题7.15得到. 若设 $α_{i}$ 为线性方程组 $P_{i}(A)x = 0$ 的非零解，则 $α = α_{1} + … + α_{k}$ 是 $A$ 的循环空间 $\mathbb{K}^{n}$ 的循环向量. 这些结论的证明就留给大家了
下面我们再给出有利标准型的三个应用，分别是 特征多项式是不可约多项式的刻画、极小多项式是不可约多项式的刻画、以及基于初等因子组的有理标准型.
7.17 设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$φ$ 的特征多项式为 $f(λ)$，证明以下三个结论等价：
（1）$V$ 只有平凡的 $φ$- 不变子空间；
（2）$V$ 中任一非零向量都是循环向量，使 $V$ 成为循环空间；
（3）$f(λ)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式
7.18 设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$φ$ 的极小多项式为 $m(λ)$. 证明：$m(λ)$ 是 $\mathbb{K}$ 上不可约多项式的充要条件是 $V$ 的任意非零 $φ$-不变子空间 $U$ 必为如下形式：
$$ U = C(φ,α_{1})\ ⊕ \ C(φ,α_{2})\ ⊕ … ⊕\ C(φ,α_{k}) $$ 并且 $φ|{C(φ,α{i})}$ 的极小多项式都是 $m(λ)$ .此时，$φ|_{U}$ 的极小多项式也是 $m(\lambda)$
7.19 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的初等因子组为 $P_{1}(λ)^{r_{1}}, P_{2}(λ)^{r_{2}}, …, P_{k}(λ)^{r_{k}}$，证明：$A$ 相似于分块对角阵
$$ \tilde{F} = diag{F(P_{1}(λ)^{r_{1}}), F(P_{2}(λ)^{r_{2}}), … , F(P_{k}(λ)^{r_{k}})}, \ \tilde{C} = diag{C(P_{1}(λ)^{r_{1}}), C(P_{2}(λ)^{r_{2}}), … , C(P_{k}(λ)^{r_{k}})},
$$
称为 $A$ 的基于初等因子组的有理标准型.
设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， $φ$ 的初等因子组为 $P_{1}(λ)^{r_{1}}, P_{2}(λ)^{r_{2}}, …, P_{k}(λ)^{r_{k}}$，存在 $α_{1},α_{2},…,α_{k} \in V$ ，使得
$$ V = C(φ,α_{1})\ ⊕ \ C(φ,α_{2})\ ⊕ … ⊕\ C(φ,α_{k}) $$
2. 有理标准型在矩阵理论中的应用
不变因子组作为矩阵相似的全系不变量，蕴含了矩阵的众多信息，如特征多项式、极小多项式和矩阵的秩等，因此，有理标准型对于矩阵性质的研究有着重要的作用
7.21 求证：存在 $n$ 阶实方阵 $A$ ，满足 $A^{2} + 2A + 5I_{n} = O$ 的充要条件是 $n$ 为偶数. 当 $n ≥ 4$ 时，验证满足上述条件的矩阵 $A$ 有无限个不变子空间
7.22 设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 的极小多项式的次数小于等于 $r(A) + 1$
7.23 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的不变因子组是 $1,…,1,d_{1}(λ),\dots,d_{k}(λ)$ ，其中 $d_{i}(λ)$ 是非常数首一多项式，$d_{λ} | d_{i+1}(λ)(1 ≤ i ≤ k-1)$ ，求证：对 $A$ 的任一特征值 $λ_{0}$
$$ r(λ_{0}I_{n} - A) = n - ∑_{i=1}^{k}δ_{d_{i}(λ_{0}),0} $$ 其中记号 $δ_{a,b}$ 表示：若 $a = b$ ，取值为1；若 $a ≠ b$ ，取值为0