7.4 乘法交换性诱导的多项式表示

$§$ 7.4 乘法交换性诱导的多项式表示

设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵，定义 $\mathbb{K}[A] = {f(A) | f(x) ∈ \mathbb{K}[x]}$ 为 $A$ 的多项式全体构成的线性空间，$C(A) = {B ∈ M_{n}(\mathbb{K} | AB = BA)}$ 为与 $A$ 乘法可交换的 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间. 由于 $A$ 与任意的 $f(A)$ 乘法可交换，故有 $\mathbb{K}[A] ⊂ C(A)$ . 但上述包含关系一般并不相等，例如，$K[I_{n}]$ 这个纯量矩阵全体，但是 $C(I_{n}) = M_{n}(\mathbb{K})$ . 因此可以自然地问：当 $A$ 满足怎样的条件时，$C(A) = \mathbb{K}[A]$ 成立呢？换言之，当 $A$ 满足怎样的条件时，对任一与 $A$ 乘法可交换的 $B$，都存在 $f(x) ∈ \mathbb{K}[x]$ ，使得 $B = f(A)$呢？

本节我们将利用循环空间和循环向量的几何性质来证明：$C(A) = \mathbb{K}[A]$ 成立的充要条件是 $A$ 的极小多项式等于其特征多项式. 此时，线性空间 $C(A)$ 的一组基为 ${I_{n},A,…,A^{n-1}}$ ，由上述结论能得到许多有趣的应用. 此外，我们将给出分块多项式表示及其应用等。

7.26 设 $φ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，则对 $V$ 上任一与 $φ$ 乘法可交换的线性变换 $ψ$ ，都存在不超过 $n-1$ 次的多项式 $g(x) ∈ \mathbb{K}[x]$ ，使得 $ψ = g(x)$ 成立的充要条件是 $φ$ 的极小多项式等于其特征多项式

推论 设 $ψ$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\mathbb{K}[φ] = {f(φ) | f(x) ∈ \mathbb{K}[φ]}, C(φ) = \mathbb{K}[φ]$ ，此时，$C(φ)$ 的一组基为 ${I_{V},φ,…,φ_{n-1}}$

$§7.3$ 中给出了很多循环子空间的例子，故由例7.26可得以下几个应用

6.63

证法2 由例题7.15可知，$\mathbb{C}^{n}$ 是关于 $A$ 的循环空间，再由例7.26即可得出结论

7.27 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式 $f(λ) = P_{1}(λ)P_{2}(λ)…P_{k}(λ)$ 其中 $P_{i}(λ)(1 ≤ i ≤ k)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式. 设 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $B$ 满足 $AB = BA$，求证：存在 $\mathbb{K}$ 上次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ ，使得 $B = f(A)$

7.28 设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $2$ 阶矩阵，试求 $C(A) = {X ∈ M^{2}(\mathbb{K}) | AX = XA}$

7.29 设 $J = J_{n}(λ_{0})$ 是特征值为 $λ_{0}$ 的 $n$ 阶 $JOrdan$ 块，求证：和 $J$ 乘法可交换的 $n$ 阶矩阵必可表示为 $J$ 的次数不超过 $n-1$ 多项式

7.30 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵

$$ \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & 0 & … & 0\\ & ⋱ & ⋱ & \ddots & ⋮ \\ & & ⋱ & \ddots & 0 \\ & * & & ⋱ & b_{n-1} \\ & & & & a_{n} \end{pmatrix} $$ 其中 $b_{1},⋯,b_{n-1}$ 均不为零. 记 $C(A) = {X ∈ M_{n}(\mathbb{K}) | AX = XA}$，证明：线性空间 $C(A)$ 的一组基为 ${I_{n},A,⋯,A^{n-1}}$

7.31 设有 $n$ 阶分块对角矩阵

$$ A = \begin{pmatrix} A_{1} & & \\ & ⋱ &\\ & & A_{k} \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} B_{1} & & \\ & ⋱ &\\ & & B_{k} \end{pmatrix} $$

其中 $A_{i}$ 和 $B_{i}$ 是同阶方阵. 设 $A_{i}$ 适合非零多项式 $g_{i}(x)$ 且 $g_{i}(x) (1 ≤ i ≤ k)$ 两两互素. 求证：若对每个 $i$ ，存在多项式 $f_{i}(x)$ 使得 $B_{i} = f_{i}(A_{i}) $ ，则必存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ 使得 $B = f(A)$

7.32 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩等于 $n-1$ ，$B$ 是同阶非零矩阵且 $AB = BA = O$ ，求证：存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ ，使得 $B = f(A)$

6.87

利用例题7.32可以证明 $r(A) = n-1$ 的情形

7.33 (Jordan-Chevalley 分解定理) 设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，证明：$A$ 可以分解为

$$ A = B + C $$ 其中 $B$ 是可对角化矩阵，$C$ 是幂零矩阵且 $BC = CB$，并且这种分解是唯一的