7.5 可对角化的判定（二）

$§$ 7.5 可对角化的判定（二）

我们曾经在 $§ 6.5$ 节中讨论过矩阵可对角化的若干判定准则，现在我们又多了两个判定准则（高代Ⅱ一个重要的核心内容就是对角化）：

1. $n$ 阶复矩阵可对角化当且仅当它的极小多项式无重根；
2. 当且仅当它的初等因子都是一次多项式（等价于$Jordan$ 块都是一阶矩阵） 下面我们通过一些典型例题来看看这两个的应用

5. 极小多项式无重根

6.66 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合首一多项式 $g(x)$ ，并且 $g(x)$ 在复数域中无重根，证明：$A$ 可对角化

证法2：利用上述的第一条判定

7.34 求适合下列条件的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $Jordan$ 标准型：

$ (1)A^{2} = A; \qquad (2)A^{k} = I_{n} $

7.35 设 $A$ 是有理数域上的 $n$ 阶矩阵，其特征多项式的所有不可约多项式为 $λ^{2} + λ + 1,λ^{2} - 2$. 又 $A$ 的最小多项式是四次多项式，求证： $A$ 在复数域上可对角化

7.36 设 $φ$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，$V_{0}$ 是 $φ$ 的不变子空间，求证：若 $φ$ 可对角化，则 $φ$ 在 $V_{0}$ 上的限制变换和 $φ$ 在 $V/{V_{0}}$ 上的诱导变换都可对角化

7.37 设 $φ$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 可对角化的充要条件是 对任一 $φ$-不变子空间 $U$ ，均存在$φ$-不变子空间 $W$ ，使得 $V = U⊕W$ ，这样的 $W$ 称为 $U$ 的 $φ$-不变补空间

6.72

7.38 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的极小多项式 $m(λ)$ 的次数为 $s$，其中 $b_{ij} = tr(A^{i+j-2})$ （约定 $b_{11} = n$），求证： $A$ 可对角化的充要条件是 $B$ 可对角化

6. 初等因子都是一次多项式、或 $Jordan$ 块都是一阶矩阵

7.39 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(λ)$ ，复系数多项式 $g(λ)$ 满足 $(f(λ),g(λ)) = 1$ ，证明： $A$ 可对角化的充要条件是 $g(A)$ 可对角化

6.57 (延拓)设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AXA$ ，其中 $A ∈ V$ ，证明：$φ$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化

6.58 (延拓)设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = AX - XA$ ，其中 $A ∈ V$ ，证明：$φ$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化

7.40 设 $φ$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 可对角化的充要条件是 对 $φ$ 的任意特征值 $λ_{0}$ ，总有 $Ker(φ - λ_{0}I_{V}) \cap Im(φ - λ_{0}I_{V}) = 0$

7.41 求证：$n$ 阶复矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是 对于 $A$ 的任意特征值 $λ_{0}$ ，$(λ_{0}I_{n} - A)^{2}$ 和 $λ_{0}I_{0} - A$ 的秩相同

例题7.42 给了可对角化判定准则的一些补充，例题7.40和7.41都是特例

*7.42 设 $φ$ 是 $n$ 维复线性空间上的线性变换，求证：$φ$ 可对角化的充要条件是 对于 $φ$ 的任一特征值 $λ_{0}$ ，下列条件之一成立：

1. $V = Ker(φ - λ_{0}I_{V}) + Im(φ - λ_{0}I_{V})$;
2. $V = Ker(φ - λ_{0}I_{V}) ⊕ Im(φ - λ_{0}I_{V})$;
3. $Ker(φ - λ_{0}I_{V}) ∩ Im(φ - λ_{0}I_{V}) = 0$;
4. $dim\ Ker(φ - λ_{0}I_{V}) = dim\ Ker(φ - λ_{0}I_{V})^{2}$;
5. $Ker(φ - λ_{0}I_{V}) = Ker(φ - λ_{0}I_{V})^{2} = Ker(φ - λ_{0}I_{V})^{3} = ⋯$;
6. $r(φ - λ_{0}I_{V}) = r((φ - λ_{0}I_{V})^{2}) $
7. $Im(φ - λ_{0}I_{V}) = Im(φ - λ_{0}I_{V})^{2} = Im(φ - λ_{0}I_{V})^{3} = ⋯$
8. $Ker(φ - λ_{0}I_{V})$ 存在 $φ$-不变补空间，即存在 $φ$-不变补空间 $U$ ，使得 $V = Ker(φ - λ_{0}I_{V}) ⊕ U$;
9. $Im(φ - λ_{0}I_{V})$ 存在 $φ$-不变补空间，即存在 $φ$-不变补空间 $W$ ，使得 $V = Im(φ - λ_{0}I_{V}) ⊕ W$;

(最后我们看一下对角化的应用)

7.43 若 $n(n ≥ 2)$ 阶矩阵 $B$ 相似于

$R = diag{ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,I_{n-2}}$ 则称 $B$ 为反射矩阵. 证明：任一对合矩阵 $A$ (即$A^{2} = I_{n}$) 均可分解为至多 $n$ 个两两可交换的反射矩阵的乘积