$§$ 7.6 $Jordan$ 标准型的求法
计算 $Jordan$ 标准型是一个重要的问题，也是后续专业课的需要，对于数字矩阵 $A$ ，通常的方法是利用 $λ-$ 矩阵的初等变换求出特殊矩阵 $λI - A$ 的法式，得到 $A$ 的不变因子和初等因子，便可写出 $Jordan$ 标准型，对于含有未定元的文字矩阵，或者仅知矩阵有些相似不变量的信息，此时若直接计算会遇到困难，一般来说需要先对矩阵的结构进行分析，求出 $A$ 的行列式因子、不变因子或初等因子，然后才能得到 $Jordan$ 标准型
如何分析矩阵的结构呢？通常我们有以下三种方法.
- 计算行列式因子 对于某些具有简单结构的矩阵（如上(下)三角，类上(下)三角矩阵），可以通过适当选取子式，计算出行列式因子，再得到不变因子和初等因子. 比如， $Frobenius$ 块和 $Jordan$ 块就是利用这种方法的典型例子；
- 计算极小多项式 因为矩阵的极小多项式是整除关系下的最大的不变因子，所以极小多项式确定了最大 $Jordan$ 块的阶数；
- 计算特征值的重数 因为特征值的几何重数等于其 $Jordan$ 块的个数，所以计算几何重数有助于 $Jordan$ 标准型的确定
下面是一些典型例题，我们来首先看一下计算几何重数的两个方法
7.44 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的不变因子组为 $d_{1}(λ),d_{2}(λ),⋯,d_{n}(λ)$ ，其中 $d_{i}(λ) | d_{i+1}(λ)(1 ≤ i ≤ n-1)$ ，又 $λ_{0}$ 是 $A$ 的特征值. 求证：$r(λ_{0}I_{n} - A) = r$ 的充要条件是 $(λ - λ_{0}) ∤ d_{r}(λ)$ 但 $(λ - λ_{0}) ∤ d_{r+1}(λ)$
7.45 设 $φ$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $V$ 的非零 $φ-$ 不变子空间. 设 $λ_{0}$ 是限制变换 $φ|_{U}$ 的特征值. 证明：$φ| _{U}$ 的属于特征值 $λ _{0}$ 的 $Jordan$ 块的个数不超过 $φ$ 的属于特征值 $λ _{0}$ 的 $Jordan$ 块的个数
下面我们来看一下同时利用以下三种方法求 $Jordan$ 标准型的典型例题
7.46 求下列 $n$ 矩阵的 $Jordan$ 标准型，其中 $a ≠ 0$:
$$ A = \begin{pmatrix} a & a & a & ⋯ & a\\ & a & a & ⋯ & a\\ & & a & ⋯ & a\\ & & & ⋱ & ⋮\\ & & & & a \end{pmatrix}. $$
如果给出相似不变量的信息，那么还可以综合利用第 $6$ 章和第 $7$ 章的方法来求 $Jordan$ 标准型. 下面这个例题是例题6.42和6.82的延续
7.47 设 $n(n > 1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $1$，求 $A$ 的 $Jordan$ 标准型
7.48 设 $n(n > 1)$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $1$，求证：$A$ 是幂等矩阵的充要条件是 $tr(A) = 1$ ，$A$ 是幂零矩阵的充要条件是 $tr(A) = 0$
例题7.46和7.47只通过求极小多项式或几何重数中的一个就可以得到解答，但是更复杂一些的问题却需要两者都运用才行。让我么来看一下下列两个经典例题
7.49 设
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a+2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 0\\ 7 & 6 & b+4 & 1 \end{pmatrix} $ ，求 $A$ 的 $Jordan$ 标准型.
7.50 设 $J = J_{n}(0)$ 是特征值为零的 $n(n ≥ 2)$ 阶 $Jordan$ 块，求 $J^{2}$ 的 $Jordan$ 标准型
7.51 求下列 $n(n ≥ 2)$ 阶矩阵的 $Jordan$ 标准型
$$ A = \begin{pmatrix} c & 0 & 1 & 0 & ⋯& 0 \\ & c & 0 & 1 & ⋯& 0 \\ & & ⋱ & ⋱ & ⋱& ⋮ \\ & & & ⋱ & ⋱& 1 \\ & & & & ⋱& 0 \\ & & & & & c \end{pmatrix} $$
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我们可以自然地考虑如下问题：如果已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $Jordan$ 标准型，那么对任意的正整数 $m$ ，$A^{m}$ 的 $Jordan$ 标准型应该有怎样的形状呢？首先，我们可以把这个问题化约到 $Jordan$ 块的情形. 设 $A$ 的 $Jordan$ 标准型为 $J = diag{J_{r_{1}}(λ_{1}),J_{r_{2}}(λ_{2}),⋯,J_{r_{n}}(λ_{n})}$ ，则由例7.46类似的讨论可知，$J_{r_{i}}(λ_{i})^{m}$ 的 $Jordan$ 标准型为 $J_{r_{i}}(λ_{i}^{m})$. 若 $λ_{i} = 0$，则例题7.50处理了 $m = 2$ 的情形，不过类似的讨论很难扩展到 $m ≥ 3$ 的情形，换言之，只依靠几何重数和极小多项式还不能完全确定 $J_{r_{i}}(λ_{0})^{m}$ 的 $Jordan$ 标准型. 解决这个问题可以有代数和几何两个方法，几何方法（利用 $Joran$ 标准型的几何意义）将在 $\S 7.10$ 中阐述，而代数方法（利用矩阵的秩）则需要下面的命题
7.52 设 $λ_{0}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值，证明：对任意的正整数 $k$ ，特征值为 $λ_{0}$ 的 $k$ 阶 $JOrdan$ 块 $J_{k}(λ_{0})$ 在 $A$ 的 $Jordan$ 标准型 $J$ 中出现的个数为
$$ r((A - λ_{0}I_{n})^{k-1}) + r((A - λ_{0}I_{n})^{k+1}) - 2r((A - λ_{0}I_{n})^{k}) $$ 其中约定 $r((A - λ_{0}I_{n})^{0}) = n$
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注：例题7.52 告诉我们，$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $Jordan$ 标准型被若干个非负整数，即 ${r((A - λ_{0}I_{n})^{j}) | λ_{i} \text{为 $A$ 的特征值} ,1 ≤ j ≤ n}$ 完全决定. 因此从理论上来说，我们可以不计算矩阵 $A$ 的不变因子或者初等因子，改为计算上述若干个矩阵的秩，也可以求出 $A$ 的 $Jordan$ 标准型. 进一步，我们还可以得到如下矩阵相似的判定准则
7.53 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：他们相似的充要条件是对 $A$ 的任一特征值 $λ_{0}$ 以及任意的 $1 ≤ k ≤ n$ ，有 $r((A - λ_{0}I_{n})^{k}) = r((B - λ_{0}I_{n})^{k})$
我们可以用上述判定准则来重新证明例题7.7和7.8
7.7&7.8
7.54 设 $J = J_{n}(a)$ 是特征值为 $a ≠ 0$ 的 $n$ 阶 $Jordan$ 块，求 $J^{m}$ 的 $Jordan$ 标准型，其中 $m$ 为非零整数
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注：例题 $7.7$ 和 $7.8$ 最初是用 “三段论法”和极小多项式来证明的（当然用行列式因子和几何重数来替代也可以）；后面利用例题7.53给出了第二种证法；本题（当 $a = ± 1$ 时）给出了第三种证法
7.55 设 $J = J_{n}(0)$ 是特征值为 $0$ 的 $n$ 阶 $Jordan$ 块，求 $J^{m}(m ≥ 1)$ 的 $Jordan$ 标准型
例7.55是例7.50的推广，它与例7.54一起完满地回答了之前例题7.51下面提出的问题。下面的例题是例题6.70的推广
7.56 设 $m$ 阶矩阵 $A$ 与 $n$ 阶矩阵 $B$ 没有公共的特征值，且 $A,B$ 的 $Jordan$ 标准型分别为 $J_{1},J_{2}$ ，又 $C$ 为 $m × n$ 矩阵，求证：
$ M = \begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix} $ 的 $Jordan$ 标准型为 $diag{J_{1},J_{2}}$
例题7.56可以用来化简矩阵，消去其主对角块. 我们来看一个典型的例子
7.57 设
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ b & a+1 & 0 & 0 \\ 3 & b & 2 & 0 \\ 5 & 4 & a & 2 \end{pmatrix} $ ，求 $A$ 的 $Jordan$ 标准型