$§$ 7.7 过渡矩阵的求法
在 $\S 6.4$ 中，我们介绍了对于可对角化矩阵 $A$ ，如何求过渡矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵. 现在我们要介绍对一般的矩阵 $A$ （未必可对角化），如何求过渡矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为 $Jordan$ 标准型. 下面将介绍三种方法：
- 利用 $λ-$ 矩阵的初等变换，通过计算特征矩阵之间的相抵变换来得到 $P$ ；
- 求解线性方程组，通过计算特征向量和广义特征向量来得到 $P$ ；
- 利用 $Jordan$ 标准型的几何意义，通过复杂的计算.
对于一般的阶数较低的数字矩阵，我们通常使用第二种方法.
方法一：计算相抵矩阵之间的相抵变换
7.58 设 $A$ 是 $n$ 阶数字矩阵，$P(λ)$ 及 $Q(λ)$ 是同阶可逆 $λ-$ 矩阵，且
$$ Q(λ)(λI_{n} - A)P(λ) = λI_{n} - J， $$ 其中 $J$ 是 $A$ 的 $Jordan$ 标准型. 又 $$ P(λ) = T(λ)(λI_{n} - J) + P $$ 其中 $P$ 是数字矩阵，求证：$P^{-1}AP = J$
由例题 $7.58$ 可知，两个数字矩阵相似当且仅当他们的特征矩阵作为 $λ-$ 矩阵相似
方法2：计算特征向量和广义特征向量
7.59 设复四维空间上的线性变换 $φ$ 在基 ${e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ 下的表示矩阵为
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} $$
求一组新基，使得 $φ$ 在这组新基下的表示矩阵是 $A$ 的 $Jordan$ 标准型，并求出过渡矩阵
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在例题7.59 中任取 $(A - I)x = 0$ 的两个线性无关的解作为特征向量 $α_{1},α_{3}$ ，都可以解出对应的广义特征向量 $α_{2},α_{4}$ ，即线性方程组 $(A - I)x = α_{1}$ 和 $(A - I)x = α_{3}$ 的可解性不依赖于 $α_{1},α_{3}$ 的选取（请大家自己想想），但这并非是普遍的情形. 一般来说，我们总可以取到 $(A - λ_{0}I)x = 0$ 的一个非零解 $α_{1}$ （即特征值 $λ_{0}$ 的特征向量），但若 $α_{1}$ 选取不当，线性方程组 $(A - λ_{0}I)x = α_{1}$ 有可能是无解的 （即求不出对应得广义特征向量）. 因此在选取特征向量时，需要我们仔细观察或设立参数，这样才能保证最终得到正确的结果. 让我们来看一下下面两个例题中的具体分析
7.60 设
$ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} $ ，求非异阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为 $Jordan$ 标准型
7.61 设
$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ ，求非异阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为 $Jordan$ 标准型
方法3：计算循环子空间的循环向量
根据 $§ 7.10$ 中所述 $Jordan$ 标准型的几何意义，全空间可分解为不同特征值的根子空间的直和，每个循环子空间对应于一条循环轨道。这条轨道由循环向量（即最高级的广义特征向量）生成. 下面以幂零根子空间为例，说明如何确定所有的循环向量，从而确定所有的基向量（等价于求所有的过渡矩阵 $P$）
7.62 设 $9$ 阶幂零矩阵 $A$ 的 $Jordan$ 标准型 $J = diag{0,J_{2}(0),J_{3}(0),J_{3}(0)}$ ，求非异阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = J$
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注：例题7.62采用的方法可以推广到一般的情形，其中的原理是：设 $n$ 阶幂零矩阵 $A$ 极小多项式为 $λ^{k}$ ，则依次选取第 $i$ 级广义特征向量（ $i = k-1,⋯,0$）,使得所有的 $A^{i}ξ_{i}(i = k-1,⋯,0)$ 在 $Ker A$ 中线性无关即可. 具体的证明请参考谢老师的博客这篇博文（利用循环轨道求 $Jordan$ 标准型的过渡矩阵 ） 下面请大家用类似方法处理7.59和7.60以及7.61
下面的例题利用根子空间直和分解给出了当矩阵有两个不同的特征值时过渡矩阵的求法. 一般情形的证明请参考上面的博文
7.63 设
$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 & 2 \\ 4 & -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} $ 求非异阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为 $Jordan$ 标准型
下面的例题也于过渡矩阵有关，它告诉我们：满足基础矩阵乘法性质的矩阵类与基础矩阵类之间存在一个相似变换. 利用这一结论可以证明：$n$ 阶矩阵环 $M_{n}(\mathbb{K})$ 的任一自同构都是内自同构
7.64 设有 $n^{2}$ 个 $n$ 阶非零矩阵 $A_{ij}(1 ≤ i,j ≤ n)$ ，适合
$$ A_{ij}A_{jk} = A_{ik}, \ A_{ij}A_{lk} = O \ (j ≠ l) $$ 求证：存在可逆矩阵 $P$ ，使得对于任意的 $i,j$ ，$P^{-1}A_{ij}P = E_{ij}$，其中 $E_{ij}$ 是基础矩阵