$§$ 7.8 $Jordan$ 标准型的应用
$Jordan$ 标准型形式简单，理论优美，有着广泛的应用. 例如利用 $Jordan$ 标准型可以计算矩阵的多项式和幂级数，并给出矩阵函数的定义（参考 $\S 7.9$），这在微分方程理论中有着众多的应用. 利用 $Jordan$ 标准型还能证明许多重要的定理，例如 $Jordan-Chevalley$ 分解定理（例题7.33），他在李代数理论中发挥着重要的作用.
本节主要阐述 $Jordan$ 标准型理论在处理矩阵问题方面的应用，主要内容分成四个部分：
- 利用 $Jordan$ 标准型研究矩阵的性质；
- 运用 $Jordan$ 标准型进行相似问题的化简；
- 应用 $Jordan$ 标准型的三段论法；
- 采用 $Jordan$ 块作为测试矩阵.
如无特殊说明，本节总在复数域 $\mathbb{C}$ 上考虑问题
1. 利用 $Jordan$ 标准型研究矩阵的性质
7.65 设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，求证：$A$ 相似于分块对角矩阵 $diag{B,C}$ ，其中 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵
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例题7.65告诉我们：在相似的意义下，对复方阵的研究可归结为对幂零矩阵和可逆矩阵这两类特殊矩阵的研究，他们的刻画分别是：特征值全为0以及特征值全不为0. 这也是前面很多问题都处理这两类矩阵的深层次原因
注意到非零特征值的 $Jordan$ 块满秩，零特征值 $Jordan$ 块的秩等于阶数减 $1$，故 $r(A)$ 等于阶数 $n$ 减去零特征值 $Jordan$ 块的个数. 这种关于 $Jordan$ 块秩的观察可以给出下面例子的第二种证法
7.22
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，例题4.34告诉我们：$r(A^{n}) = r(A^{n+1}) = r(A^{n+2}) = ⋯$ 下面的例子给出了这一结果的推广
7.66 设 $λ_{0}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $m$ . 设属于特征值 $λ_{0}$ 的最大 $Jordan$ 块的阶数为 $k$ ，求证：
$$ r(A - λ_{0}I_{n}) > ⋯ > r((A - λ_{0}I_{n})^{k}) = r((A - λ_{0}I_{n})^{k+1}) = ⋯ =n - m $$
7.67 设 $λ_{0}$ 是 $n$ 阶复矩阵 $A$ 的特征值，并且属于 $λ_{0}$ 的初等因子都是次数大于等于 $2$ 的多项式. 求证：特征值 $λ_{0}$ 的任一特征向量 $α$ 均可表示成 $A - λ_{0}I_{n}$ 的列向量的线性组合
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若特征值 $λ_{0}$ 有一个初等因子为一次多项式，则必定存在特征向量 $α$ ，它不能表示为 $A - λ_{0}I_{n}$ 的列向量的线性组合. 证明的细节大家自己思考. 一个极端的例子就是 $A = I_{n}$ ，其特征值 $1$ 的初等因子都是一次的，并且任一特征向量都不是 $A - I_{n}$ 的列向量的线性组合. 例题7.67 和 7.40（可对角化的判定）有着密切的联系，请大家自己思考两者之间的关系
2. 运用 $Jordan$ 标准型进行相似问题的化简
如果矩阵问题的条件和结论在同时相似关系下不改变，则可以将其中一个矩阵变成 $Jordan$ 标准型，进行问题的化简. 我们来看下面几个典型的例题
7.68 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，满足 $AB = BA = O,\ r(A) = r(A^{2})$ ，求证：$r(A + B) = r(A) + r(B)$
6.32
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设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$M_{m × n}(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(X) = = AX - XB$ 则写了三个结论等价：
- $φ$ 是单映射；
- $φ$ 是自同构；
- 对于某个给定的 $m × n$ 矩阵 $C$，存在唯一的 $X_{0}$ 使得 $φ(X_{0}) = C$ .
事实上，$(1) ⇒ (2)$ 以及 $(2) ⇒ (3)$ 显然都成立. 用反证法来证明 $(3) ⇒ (1)$ ： 若 $Ker φ ≠ 0$ ，则 $Ker φ$ 中任一非零元 $X_{1}$ 都满足 $φ(X_{0} + X_{1}) = C$ ，这与唯一性矛盾.
因此，例题7.69 和7.70 都等价于例题6.91，下面给出他们的 $Jordan$ 标准型证法
7.69 设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，求证：矩阵方程 $AX = XB$ 只有零解的充要条件是 $A,B$ 无公共的特征值
7.70 设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，以及 $m × n$ 矩阵 $C$，求证：矩阵方程 $AX - XB = C$ 只有零解的充要条件是 $A,B$ 无公共的特征值
3. 应用 $Jordan$ 标准型的三段论法
如果矩阵问题的条件和结论在相似关系下不改变，则可以先证明结论对 $Jordan$ 块成立，再证明对 $Jordan$ 标准型成立，最后证明对一般的矩阵也成立，这就是所谓的“三段论法”. 事实上，我们已经利用三段论法证明过例题7.7和7.8下面再来看一些典型例题
首先我们来看计算矩阵乘幂的问题. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP = J = diag{J_{r_{1}}(λ_{1}),J_{r_{2}}(λ_{2}),⋯,J_{r_{k}}(λ_{k})}$ 为 $Jordan$ 标准型. 注意任一 $Jordan$ 块，故对任意的正整数 $m$ 有 $$ J_{r_{i}}(λ_{i})^{m} = (λ_{i}^{m}I_{r_{i}}) + C_{m}^{1}λ_{i}^{m-1}N + ⋯ + C_{m}^{m-1}λ_{i}N^{m-1} + N^{m} $$ 于是 $J^{m} = diag{J_{r_{1}}(λ_{1})^{m},J_{r_{2}}(λ_{2})^{m},⋯,J_{r_{k}}(λ_{k})^{m}}$ 从而 $A^{m} = (PJP^{-1})^{m} = PJ^{m}P^{-1}$ 便可计算出了
7.60的延拓 设
$ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -15\\ 1 & 1 & -5\\ 1 & 2 & -6 \end{pmatrix} $ ，求 $A^{m} (m ≥ 1)$
我们接下来反过来思考这个问题
7.71 求矩阵 $B$ ，使得 $A = B^{2}$ 其中
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 5 \end{pmatrix} $
注意到例题7.71的 $A$ 是非异阵，$B$ 称为 $A$ 的平方根，事实上，我们可以证明如下结论，
即非异阵存在任意次的方根
7.73 设 $A$ 为 $n$ 阶非异复矩阵. 证明：对任一正整数 $m$ ，存在 $n$ 阶复矩阵 $B$ ，使得 $A = b^{m}$
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注意：例题7.72 的结论对奇异矩阵一般都不成立。 例如，设 $A = J_{n}(0)^{m-1}$ ，其中 $n = mq - r，m ≥ 2 \ and \ 0 ≤ r < m $ 则不存在 $B$ 使得 $A = B^{m} $. 我们用反证法来证明这个结论. 若存在满足条件的 $B$ ，则 $B$ 的特征值全为零，从而 $B$ 也是幂零矩阵，即有 $B^{n} = O$ . 于是 $O = B^{n+r} = (B^{m})^{q} = A^{q} = J_{n}(0)^{m-1} ≠ O$ ，这就导致了矛盾
7.73 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵. 证明：存在 $n$ 阶复对称矩阵 $B,C$ 使得 $A = BC$ ，并且可以指定 $B,C$ 中任何一个为可逆矩阵
7.74 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵. 证明：存在 $n$ 阶复对称矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = A'$
7.75 设 $A$ 为 $n$ 阶幂零矩阵，证明：$e^{A} $ 与 $I_{n} + A$ 相似
4. 采用 $Jordan$ 块作为测试矩阵
在矩阵问题中，如果需要构造满足某种性质的矩阵，则可以采用 $Jordan$ 作为测试矩阵进行探索和讨论. 比如在例题7.72中，为了构造 $Jordan$ 块 $J_{r_{i}}(λ_{i})$ 的 $m$ 次方根. 我们采用了 $Jordan$ 块 $J_{r_{i}}(𝜇_{i})$ 作为测试矩阵，并最终得到正确的答案.
下面再看两个例题
7.76 证明：存在 $71$ 阶实方阵 $A$ ，使得
$$ A^{70} + A^{69} + ⋯ + A + I^{71} = \begin{pmatrix} 2019 & 2018 & ⋯ & 1949\\ & 2019 & ⋱ & ⋮\\ & & ⋱ & 2018\\ & & ⋱ & 2019 \end{pmatrix} $$
下面的例子采用了广义的 $Jordan$ 块（参考例题7.96）作为测试矩阵
7.77 设 $a,b$ 都是实数，其中 $b ≠ 0$ 证明：对任意的正整数 $m$ ，存在四阶实方阵 $A$ ，使得
$$ A^{m} = B = \begin{pmatrix} a & b & 2 & 0\\ -b & a & 2 & 0\\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & -b & a \end{pmatrix} $$