8.2 对称初等变换与矩阵合同

$§$ 8.2 称初等变换与矩阵合同

用对称初等变换来讨论对称矩阵是常用的方法之一. 设 $A$ 是对称矩阵，若对 $A$ 进行一次初等行变换，再进行一次对称的初等列变换，得到的矩阵仍然是对称矩阵并且和 $A$ 是合同的. 具体来说下面的对称初等变换都是合同变换：

1. 对换 $A$ 的第 $i$ 行和 $j$ 行，再对换第 $i$ 列和第 $j$ 列；
2. 将 $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常数 $k$ ，再将第 $i$ 列乘以非零常数 $k$ ；
3. 将 $A$ 的第 $i$ 行乘以常数 $k$ 加到第 $j$ 行上，再将第 $i$ 行乘以常数 $k$ 加到第 $j$ 列上

对分块对称矩阵 $A$ ，我们可以用下面的对称分块初等变换来讨论，他们都是合同变换：

1. 对换 $A$ 的第 $i$ 分块行和第 $j$ 分块行，再对换第 $i$ 分块列和第 $j$ 分块列；
2. 将 $A$ 的第 $i$ 分块行左乘可逆矩阵 $M$ ，再将 $A$ 的第 $i$ 分块列右乘 $M’$;
3. 将 $A$ 的第 $i$ 分块行左乘矩阵 $M$ 加到第 $j$ 分块行，再将第 $i$ 分块列右乘矩阵 $M’$ 加到第 $j$ 分块列上.

8.1 设 $diag{A_{1},A_{2},⋯,A_{m}}$ 是分块对角矩阵，其中 $A_{i}$ 都是对称矩阵，求证：$diag{A_{1},A_{2},⋯,A_{m}}$ 合同于 $diag{A_{i1},A_{i2},⋯,A_{im}}$ ，其中 $A_{i1},A_{i2},⋯,A_{im}$ 是 $A_{1},A_{2},⋯,A_{m}$ 的一个排列

8.2 求证： $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是正定阵的充要条件是 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式的代数余子式以及第 $n$ 个顺序主子式全大于零

8.3 求证：正定阵的任一主子阵也是正定阵，半正定阵的任一主子阵也是半正定阵

8.4 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

（1）$A$ 的所有主子式全大于零，特别地，$A$ 的主对角元全大于零； （2）$A$ 中绝对值最大的元素只在 $A$ 的主对角线上.

3.87

8.5 设有分块对称矩阵：

$$ A = \begin{pmatrix} A_{1} & O\\ O & A_{2} \end{pmatrix} $$

假设 $A_{1}$ 合同于 $B_{1},A_{2}$ 合同于 $B_{2}$ ，求证：$A$ 合同于分块对称矩阵 $$ B = \begin{pmatrix} B_{1} & O\\ O & B_{2} \end{pmatrix} $$

8.6 设分块实对称矩阵

$ M = \begin{pmatrix} A & O\\ O & B \end{pmatrix} $ ，用 $p(A),q(A)$ 分别表示 $A$ 的正负惯性指数，求证： $$ p(M) = p(A) + p(B) , q(M) = q(A) + q(B). $$

8.7 （正负惯性指数的降阶公式） 设分块实对称矩阵

$ M = \begin{pmatrix} A & C\\ C’ & B \end{pmatrix} $ ，其中 $A,B$ 都可逆，求证： $$ p(A) + p(B-C’A^{-1}C) = p(B) + p(A-CB^{-1}C’),\ q(A) + q(B-C’A^{-1}C) = q(B) + q(A-CB^{-1}C’). $$

8.8 设 $α$ 是 $n$ 维实对称向量且 $α’α = 1$ ，求矩阵 $I_{n} - 2α’α$ 的正负惯性指数

求 $n(n ≥ 2)$ 阶实对称矩阵 $A$ 的正负惯性指数，其中 $α_{i}$ 均为实数：

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1}^{2} & a_{1}a_{2}+1 & ⋯ & a_{1}a_{n}+1\\ a_{2}a_{1}+1 & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}a_{n}+1\\ ⋮ & ⋮ & & ⋮\\ a_{n}a_{1} & a_{n}a_{2}+1 & ⋯ & a_{n}^{2} \end{pmatrix} $$

8.10 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵，

$ B = \begin{pmatrix} O & A\\ A’ & O \end{pmatrix} $ ，求矩阵 $B$ 的正负惯性指数

8.11 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

$ B = \begin{pmatrix} A & -I_{n}\\ -I_{n} & A^{-1} \end{pmatrix} $ 是半正定矩阵