$§$ 8.3 归纳法的应用
数学归纳法是讨论二次型与相关矩阵问题的常用方法之一，注意到例题8.7的证明过程展示了这样一种方法，
例如有一个分块对称矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & C\\ C’ & B \end{pmatrix} $ ，其中 $A$ 是可逆矩阵，则通过对称分块初等变换可用 $A$ 同时消去 $C$ 和 $C’$ ，从而得到分块对角矩阵 $ \begin{pmatrix} A & O\\ O & B-C’A^{-1}C \end{pmatrix} $ . 此时矩阵 $A,B-C’A^{-1}C$ 的阶都比 $M$ 的阶低，如果问题的条件和结论在合同关系下不改变，则上述过程就是运用古纳法的基础. 事实上，正定阵的判定准则之一，即实对称矩阵 $A$ 是正定阵的充要条件是 $A$ 的顺序主子式全大于零，这个命题就是通过上述方法证明的.
下面我们来看几个典型例题
8.12 证明下列关于 $n$ 阶实对称矩阵 $A = (a_{ij})$ 的命题等价：
（1） $A$ 是正定阵；
（2）存在主对角元全等于 $1$ 的上三角矩阵 $B$ 和主对角元全为正数的对角矩阵 $D$ ，使得 $A = B’DB$ ；
（3）存在主对角元全为正数的上三角矩阵 $B$ ，使得 $A = C’C$
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设 $C = (c_{ij})$ 为主对角元全为正数的上三角矩阵，使得 $A = C’C$ ，则 $c_{11}c_{1j} = a_{1j}$ ，从而 $c_{11} = √a_{11} > 0 , c_{1j} = \frac{a_{1j}}{√(a_{11})} (2 ≤ j ≤ n)$ ，即 $C$ 的第一行元素被唯一确定. 同理不断讨论下去，可得这样的 $C$ 存在并且被正定阵 $A$ 唯一确定. 因为 $S$ 是由于 $C$ 的主对角元构成的对角矩阵，故由 $C$ 的唯一性可得 $S$ 的唯一性，从而可得 $D = S^{2}$ 以及 $B = S^{-1}C$ 的唯一性.
因此，例题8.12中关于正定阵 $A$ 的两种分解 (2) 和 (3) 都是存在且唯一的，其中分解 $(3)$ 通常称为正定阵 $A$ 的 $Cholesky$ 分解. 另外，上述两种分解也有非常重要的几何意义，他们与 $Gram-Schmidt$ 正交化方法密切相关，我们将在 $§ 9.3$ 中阐述相关细节
8.13 设 $f(x) = x’Ax$ 是实二次型，相伴矩阵 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式 $P_{1},…,P_{n-1}$ 非零，求证：经过可逆线性变换 $f$ 可化为下列标准型：
$$ f = P_{1}y_{1}^{2} + \frac{P_{2]}}{P_{1}}y_{2}^{2} + ⋯ + \frac{P_{n]}}{P_{n-1}}y_{n}^{2} , $$ 其中 $P_{n} = |A|$
8.14 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵且非主对角元都是负数，求证：$A_{-1}$ 的每个元素都是正数.
8.15 设 $A = (a_{ij})$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，其逆阵 $A^{-1} = (b_{ij})$ ，求证：$a_{ii}b_{ii} ≥ 1$ ，且等号成立当且仅当 $A$ 的第 $i$ 行和列的所有元素除了 $a_{ii}$ 之外全为零
下面是反对称矩阵的合同标准型 ，它可以有典型的归纳法来证明
8.16 设 $A$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，则 $A$ 必定合同于下列形状的分块矩阵：
$$ diag{S,⋯,S,0,⋯,0}，\tag{8.2} $$
其中 $S = \begin{pmatrix}(0 & 1\\\ -1 & 0)\end{pmatrix}$. 特别地，反对称矩阵 $A$ 的秩必为偶数 $2r$ ，其中 $r$ 是 $S$ 在 $A$ 的上述合同标准型中的个数
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注：本例题给出了例题3.88 的另外一个证明. 注意到本题的证明中，我们采用的是跨度为 $2$ 的数学归纳法，故在起始步骤时需要验证 $n = 1,2$ 这两种情形，但我们不难发现 $n = 2$ 情形的证明完全包含在归纳过程的证明中，因此可以用 $n = 0,1$ 的情形作为起始步骤. 需要注意的是，$n = 0$ 并不意味着存在零阶矩阵，而只是说明归纳过程已经完全结束. 后面遇到跨度为 $2$ 的数学归纳法，我们通常都采用上述约定
8.17 求证：$n$ 阶实反对称矩阵 $A$ 的行列式值总是非负实数
8.18 设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：
（1）$|I_{n} + A| ≥ 1 + |A|$ ，且等号成立当且仅当 $n ≤ 2$ 或当 $n ≥ 3$ 时，$A = O$.
（2）$|I_{n} + A| ≥ 1 $ ，且等号成立当且仅当 $A = O$.