$§$ 8.4 合同标准型的应用
引进标准型的目的是为了简化问题的讨论. 应用合同标准型（复相合标准型）可以简化二次型和对称矩阵（$Hermite$ 型和 $Hermite$ 矩阵）有关问题的讨论. 其方法是先对标准型证明所需结论，若结论在合同（复相合）变换下不变就可以过渡到一般的情形. 这种做法和相抵标准型和相似标准型是完全类似的.
8.19 求证：秩等于 $r$ 的对称矩阵 $A$ 等于 $r$ 个秩等于 $1$ 的对称矩阵之和.
8.20 设 $A$ 为 $n$ 阶复对称矩阵且秩等于 $r$ ，求证：$A$ 可以分解为 $A = T’T$ ，其中 $T$ 是秩等于 $r$ 的 $n$ 阶复矩阵
8.21 求证：任一 $n$ 阶复矩阵 $A$ 都相似于一个复对称矩阵
8.22 设实二次型 $f$ 和 $g$ 有相同的正负惯性指数.
8.23 设 $f$ 是 $n$ 元实二次型，其系数矩阵满足 $|A| < 0$，求证：必定存在一组实数 $a_{1},a_{2},⋯,a_{n}$ ，使得
$$ f(a_{1},a_{2},⋯,a_{n}) < 0 $$
8.24 如果实二次型 $f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n})$ ，仅在 $x_{1} = x_{2} = ⋯ =x_{n} = 0$ 时为零，证明：$f$ 必是正定型或负定型
8.25 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若 $A$ 半正定，求证：$A^{*}$ 也半正定
8.26 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：
（1）$A$ 是正定阵的充要条件是 存在 $n$ 阶非异实矩阵 $C$ ，使得 $A = C’C$ .
（2）$A$ 是半正定阵的充要条件是 存在 $n$ 阶实矩阵 $C$ ，使得 $A = C’C$ ，特别地，$|A| = |C|^{2} ≥ 0$
例题8.26 是正定阵和半正定阵的判定准则之一（参考 $§ 8.7 和 § 8.8$），下面我们来看四个典型例题
8.27 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$α,β$ 为 $n$ 维实列向量，证明：$α’Aα + β’A^{-1}β ≥ 2α’β$ ，且等号成立的充要条件是 $Aα = β$
8.28 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$α,β$ 为 $n$ 维实列向量，证明：$(α’β)^{2} ≤ (α’Aα)(β’A^{-1}β)$ ，且等号成立的充要条件是 $Aα$ 与 $β$ 成比例
正定（半正定）实对称矩阵的任一主子式都大于零（大于等于零），特别地，正定（半正定）实对称矩阵的迹大于零（大于等于零）. 下面的例题给出了正定性（半正定性）关于迹的判定
8.29 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：
（1）若 $A$ 可逆，则 $A$ 为正定阵的充要条件是 对任意的 $n$ 阶正定实对称矩阵 $B$ ，$tr(AB) > 0$;
（2）$A$ 为半正定阵的充要条件是对任意的 $n$ 阶半正定实对称矩阵 $B$ ，$tr(AB) ≥ 0$