$§$ 8.6 矩阵与二次型
二次型（$Hermite$ 型）与对称矩阵（$Hermite$ 矩阵）之间有着一一对应的关系，这种关系既可以让我们用矩阵方法来讨论二次型（$Hermite$ 型）问题，也可以用二次型（$Hermite$ 型）方法来讨论矩阵问题.
这就是二次型（$Hermite$ 型）理论与矩阵理论种最常用的方法之一
1. 用矩阵方法来讨论二次型问题
8.40 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：函数 $f(x) = x’Ax + 2β’x + c$ 的极小值等于 $c - β’A^{-1}β$ ，其中 $β = (b_{1},⋯,b_{n})’$ ，$b_{i}$ 和 $c$ 都是实数.
8.32 和 8.33均可用此法
8.41 设实二次型
$$ f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n}) = ∑_{i=1}^{k} (a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2},⋯ + a_{in}x_{n})^{2} $$ 其中 $a_{ij}$ 都是实数 ，求证：$f$ 是半正定型且 $f$ 的秩等于下列矩阵的秩 $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n}\\ ⋮ & ⋮ & & ⋮\\ a_{k1} & a_{k2} & ⋯ & a_{kn} \end{pmatrix} $$
8.34 化下列实二次型为标准型
$$ f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} (x_{i} - s)^{2}, s = \frac{1}{n}(x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}) $$
8.35
例题8.13 给出了通过计算二次型系数矩阵的顺序主子式来求标准型的方法，我们来看下面的例题
8.42 求实二次型的标准型
（1） $f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} max{i,j}x_{i}x_{j}$ ;
（1） $f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} |i - j|x_{i}x_{j}$ ;