$§$ 8.7 *正定型与正定阵
正定型与正定阵是本章最重要的内容之一，他们的判定及其应用也是高等代数中的难点之一. 另外，大家还可以在一些后续专业课中看到正定阵与正定型的诸多应用. 首先我们将正定阵（正定型类似）相关的判定标准列举如下：
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 是正定阵的充要条件是下列条件之一：
- （1）$A$ 合同于单位矩阵 $I_{n}$ （参考 $§§ 8.1.3$ 定理4）;
- （2）存在非异实矩阵 $C$ ，使得 $A = C’C$ （参考例题 $8.26(1)$ ）;
- （3）$A$ 的 $n$ 个顺序主子式全大于零（参考 $§§ 8.1.3$ 定理5）;
- （4）$A$ 的所有主子式全大于零（参考例题 $8.4$）;
- （5）$A$ 的所有特征值全大于零（参考例题 $§ 9.7$ 的第二部分）;
我们先来看判定准则 $(1)$ 的一个重要应用.
8.45 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：
（1）$|A + S| ≥ |A| + |S|$ ，且等号成立当且仅当 $n ≤ 2$ 或当 $n ≥ 3$ 时，$S = O$
（2） $|A + S| ≥ |A|$ ，且等号成立当且仅当 $S = O$
例题8.27、8.28和8.29都是判定准则（2）的应用，下面我们来看两个例题
8.46 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$c$ 是正实数，求证：
（1）$A^{-1},A^{*},A+B,cA$ 都是正定阵;
（2）若 $D$ 是非异实矩阵，则 $D’AD$ 也是正定阵;
（3）若 $A-B$ 是非异实矩阵，则 $B^{-1}-A^{-1}$ 也是正定阵
8.47 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$n$ 维实列向量 $α,β$ 满足 $α’β > 0$ ，求证：$H = A - \frac{Aββ’A}{β’Aβ} + \frac{αα’}{α’β}$ 是正定阵
通过计算实对称矩阵 $A$ 的顺序主子式来判定其正定性，判定准则 $(3)$ 无论是从计算的层面上看，还是证明的层面，都是一个行之有效的方法，我们来看几个典型例题
8.48 求证：下列 $n$ 阶实对称矩阵 $A = (a_{ij})$ 都是正定阵，其中
$$ (1) a_{ij} = \frac{1}{i+j} (2) a_{ij} = \frac{1}{i+j-1} $$
8.49 设 $A$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：若 $A$ 是主对角元全大于零的严格对角占优阵，则 $A$ 是正定阵
8.50 设 $A$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，求证：必存在正整数 $k$ ，使得对任一 $n$ 维实列向量 $α$ ，总有
$$ -kα’α ≤ α’Aα ≤ kα’α $$
8.51 设 $α,β$ 为 $n$ 维非零实列向量，求证：$α’β > 0$ 成立的充要条件是 存在 $n$ 阶正定实对称矩阵 $A$ ，使得 $α = Aβ$
用线性方程组的求解理论来证明关于正定阵的某些命题是一个常见的技巧，我们来看下面两个经典的例题
8.52 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实矩阵，使得 $A’B’ + BA$ 是正定阵，求证：$A,B$ 都是非异阵
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若 $A$ 是正定实对称矩阵，则 $A$ 合同于单位矩阵 $I_{n}$ ，而存在非异实矩阵 $C$ ，使得 $A = C’I_{n}C$ . 因为 $C$ 是实矩阵，故可把上面的 $C’$ 换成 $\overline{C}’$ 从而 $A$ 复相合于 $I_{n}$ ，于是 $A$ 也是正定 $Hermite$ 矩阵，因此在处理·实矩阵的问题过程中，如果遇到了复特征值和复特征向量，那么可以自然地把正定实对称看成是一种特殊的正定 $Hermite$ 阵，从而其正定阵可延拓到复数域上 . 下面是一个典型的例题
8.53 设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$g(t) - |t_{0}^{2}A + t_{0}B + C|$ 是关于 $t$ 的多项式，求证：$g(t)$ 所有复根的实部都小于零
在前面的例题中我们已经讨论过正定阵的许多性质，下面几个例题也是正定阵的性质及其应用
8.54 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$P_{n-1}$ 是 $A$ 的第 $n-1$ 个顺序主子式，求证：$|A| ≤ a_{nn}P_{n-1}$
8.55 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：$|A| ≤ a_{11}a_{22}⋯a_{nn}$ ，且等号成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵
8.56
设 $A,D$ 是方阵， $ M = \begin{pmatrix} A & B\\ B’ & D \end{pmatrix} $ 是正定实对称矩阵，求证：$|M| ≤ |A||D|$ 且等号成立当且仅当 $B = O$
8.57 设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$A = (B,C)$ 是 $A$ 的一个分块，其中 $B$ 是 $A$ 的一个前 $k$ 列组成的矩阵，$C$ 是 $A$ 的后 $n-k$ 列组成的矩阵. 求证：
$$ |A|^{2} ≤ |B’B||C’C| $$
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注：在 $8.56$ 的证明中，若考虑 $M$ 的如下对称分块初等变换 ： $$ \begin{pmatrix} A & B\\ B’ & D \end{pmatrix} → \begin{pmatrix} A & B\\ O & D-B’A^{-1}B \end{pmatrix} → \begin{pmatrix} A & O\\ O & D-B’A^{-1}B \end{pmatrix} $$ 则可得 $D-B’A^{-1}B$ 是正定阵. 因为第三类分块初等变换不改变行列式的值，故可得 $|M| = |A||D-B’A^{-1}B| ≤ |A||D|$ ，即有 $|D-B’A^{-1}B| ≤ |D|$ . 利用这一不等式不难证明：若 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，则 $|A+B| ≥ |A|$ . 不过这并非是最佳的结果，更精确的结论应该是 $|A+B| ≥ |A|+|B|$ ，等号成立当且仅当 $n=1$ 或当 $n≥2$ 时，$B=O$. 要证明这一结论，我们需要实对称矩阵的正交相似标准型理论，同时利用这一理论还能极大地改进和简化关于正定阵和半正定阵的许多结论及其证明. 我们把这些留到 $§ 9.8$ 详细阐述
8.58 设 $M$ 为 $n$ 阶矩阵，若对任意的非零实列向量 $α$ ，总有 $α’Mα ≥ 0$ ，则称 $M$ 为亚正定阵. 证明以下三个结论等价：
（1）$M$ 是亚正定阵；
（2）$M + M’$ 是正定阵；
（3）$M = A + S$ ，其中 $A$ 是正定实对称矩阵，$S$ 是实反对称矩阵
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注 第 $6$ 章的解答题 $3$ 告诉我们：亚正定阵 $M$ 的特征值的实部都大于零，由此可得 $M$ 的行列式值大于零. 事实上，这一结论还可以由例题 $8.45$ 得到，即 $|M| = |A+S| ≥ |A| > 0$. 另外，这一结论还可以能给出例题 $8.52$ 的证法2，即由 $BA + (BA)’$ 正定可知 $BA$ 亚正定，从而 $|BA| > 0$ ，于是 $A,B$ 都是非异阵 设 $f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n})$ 是实二次型，$A$ 是相伴的实对称矩阵，则容易看出 $f$ 是负定阵或半负定阵当且仅当 $-A$ 是正定型或半正定型（正定阵或半正定阵）的问题来研究. 下面我们通过 $4$ 道例题来说明负定阵和负定阵的判定及其相关应用
8.59 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$P_{1},P_{2},⋯,P_{n}$ 是 $n$ 个顺序主子式，求证：$A$ 负定的充要条件是：
$$ P_{1} < 0, P_{2} > 0, ⋯, (-1)^{n}P_{n} > 0 $$
8.60 设 $A$ 是 $n$ 阶负定实对称矩阵，求证：$A^{-1}$ 也是负定阵；当 $n$ 为偶数时，$A^{}$ 是负定阵，当 $n$ 为奇数时，$ A^{}$ 是正定阵
8.61 设有实二次型 $f(x_{1},x_{2},⋯,x_{n}) = x’Ax$ ，其中 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证下列实二次型是负定阵：
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} & x_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{n2} & x_{2}\\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮\\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} & x_{n}\\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} & 0 \end{pmatrix} $$