8.8 *半正定型与半正定阵

$§$ 8.8 *半正定型与半正定阵

半正定型与半正定阵在绿皮书教材中讨论得比较少，主要原因是正定型与正定阵作为子集包含在半正定型与半正定阵，其中的判定有类似之处，不过他们之间仍然有很多差异. 因此半正定型与半正定阵也是高代的难点之一. 首先，我们先列举相关的判定准则如下

• （1）$A$ 合同于 $\begin{pmatrix} I_{n} & O\\ O & O \end{pmatrix}$ （参考 $§§ 8.1.3$ 定理4）
• （2）存在实矩阵 $C$ ，使得 $A = C’C$ （参考例题 8.26(2)）;
• （3）$A$ 的所有主子式全大于零（参考例题 8.64）;
• （3）$A$ 的所有特征值全大于零（参考 $§ 9.7$ 第二部分）

判定准则 $(1),(2)$ 在前面的例题中用过很多次了下面再看一道例题

8.62 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$c$ 是非负实数. 求证：

（1） $A^{*},A+B,cA$ 都是半正定阵；
（2）若 $D$ 是实矩阵，则 $D’AD$ 也是半正定阵.

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下面分别阐述半正定阵的 $4$ 个重要性质及其应用

性质 1 （极限性质）半正定阵是正定阵的极限

8.63 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是半正定阵的充要条件是 对于任意的正实数 $t,A+tI_{n}$ 都是正定阵.

8.64 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是半正定阵的充要条件是 $A$ 的所有主子式全大于等于零

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利用极限性质和摄动法还可以将关于正定阵的很多结果延拓到半正定阵的情形. 我们来看几个延拓及应用

8.65 设 $A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$A,B$ 的 $Hadamard$ 乘积 $H = A⚬B = (a_{ij}b_{ij})$ 也是半正定阵

8.29 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵. 证明：

（1）若 $A$ 可逆，则 $A$ 为正定阵的充要条件是 对任意的 $n$ 阶正定的实对称矩阵 $B$ ，$tr(AB)>0$; （2）$A$ 为半正定阵的充要条件是 对任意的 $n$ 阶半正定实对称矩阵 $B$ ，$tr(AB) ≥ 0$

8.66 设 $A$ 是 $n$ 阶半正定矩阵实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

$$ |A + S| ≥ |A| + |S| ≥ |A| ≥ 0 $$

8.67 设 $M$ 是 $n$ 阶实矩阵，若对任意的实列向量 $α$ ，总有 $α’Mα ≥ 0$ ，则称 $M$ 是亚半正定阵. 证明下列三个矩阵等价：

（1）$M$ 是亚正定阵；
（2）$M + M’$ 是正定阵；
（3）$M = A + S$ ，其中 $A$ 是半正定实对称矩阵，$S$ 是实反对称矩阵

8.23的延拓 设 $f(x) = x’Ax$ 是 $n$ 元实二次型，$n$ 阶实矩阵 $A$ 未必对称且 $|A| ≤ 0$ ，求证：必定存在一组实数 $a_{1},a_{2},⋯,a_{n}$ ，使得 $f(a_{1},a_{2},⋯,a_{n}) < 0$

8.68 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$|A| ≤ a_{11}a_{22}⋯a_{nn}$ ，且等号成立当且仅当 要么存在某个 $a_{ii} = 0$ 或者 $A$ 是对角矩阵

8.69 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$\dfrac{1}{n} tr{AB} ≥ |A|^{\frac{1}{n}}|B|^{\frac{1}{n}}$ ，并且等号成立的充要条件

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性质2 若主对角元为零，则同行同列的所有元素都为零

由例题 $8.4$ 可知，正定阵 $A$ 的主对角元全为正实数，并且绝对值最大的元素只在主对角线上. 半正定阵当然没有这么好的性质，不过通过下面的例题可以看出，若半正定阵的某个主对角元为零，则与之同行同列的所有元素都为零. 这个性质可以看成正定阵上述性质的极限版本，是半正定阵的第二个重要性质

8.70 设 $A = (a_{ij})$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：若 $a_{ii} = 0$ ，则 $A$ 的第 $i$ 行和第 $i$ 列的所有元素都等于零

8.61

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性质 3 若 $α’Aα = 0$ ，则 $Aα = 0$

半正定阵的第三个重要性质是：若 $A$ 为 $n$ 阶半正定阵，$α$ 为 $n$ 维实列向量，则由 $α’Aα = 0$ 可以推出 $Aα = 0$ . 这是一个非常强的结论，可以处理很多关于半正定阵的问题. 为了完整起见，我们在下面的例题中证明一个充要条件

8.71 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：$A$ 为半正定阵或半负定阵的充要条件是 对任一满足 $α’Aα = 0$ 的 $n$ 维实列向量 $α$ ，均有 $Aα = 0$

8.27 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$α,β$ 为 $n$ 维实列向量，证明：$α’Aα + β’A^{-1}β ≥ 2α’β$ ，且等号成立的充要条件是 $Aα = β$

8.72 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$S$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

（1）$r(A+S) = r(A:S)$;
（2）$|A+S|>0$ 成立的充要条件是 $r(A:S) = n$ (注意这个":“实际上是双竖线，具体看473页，因为我这里找不到符号)

8.73 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $B$ 半正定且满足 $|A + iB| = 0$ ，求证：存在非零实列向量 $α$ ，使得 $Aα = Bα =0$

利用半正定阵的性质 $3$ ，我们还可以简介地求出半正定阵的规范标准型

8.74 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$f(x) = x’Ax$ 是相伴的半正定实二次型. 设 $Ker f(x) = {α ∈ \mathbb{R}^{n} | f(α) = α’Aα = 0}$ 作为实线性空间的维数等于 $d$ ，求证：$f(x)$ 的规范标准型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + ⋯ + y_{n-d}^{2}$

若实二次型 $f(x)$ 可通过配方（不要求是非异线性变换）变成完全平方和，则 $f(x)$ 必定为半正定型. 一般来说，$Ker f(x)$ 及其维数比较容易求出，因此由例题8.74便可快速得到 $f(x)$ 的规范标准型. 我们来看两个典型的例子

8.34 & 8.35

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性质 $4$ （主对角块占优） 主对角块可消去同行同列的其他块

半正定阵的第四个重要性质：若实对称矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B’ & D \end{pmatrix}$ 是半正定阵，则主对角块 $A,D$ 占优，即利用 $A,D$ 以及第三类分块初等变换可将非主对角块消去，从而得到分块对角矩阵. 若 $M$ 为正定阵，则 $A,D$ 都是正定阵，从而上述性质显然成立. 若 $M$ 为半正定阵，则由线性方程组的求解理论（参考例题3.105）可知，上述性质等价于如下结论

8.75

设 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B’ & D \end{pmatrix}$ 为半正定实对称矩阵，求证：$r(A:B) = r(A)$ (注意：这个性质4（例题8.75）可以看成是性质2（例题8.70）的推广)

8.76 设 $A,B,A-B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$r(A:B) = r(A)$

下面的例题给出了两个半正定实对称矩阵之和为正定阵的充要条件，大家可以和例题8.72对比

8.77 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：

（1）$r(A+B) = r(A:B)$;
（2）$A+B$ 是正定阵的充要条件是 $r(A:B) = n$

利用半正定阵的性质 $4$ ，我们还可以得到类似于例题 $8.12$ 的关于半正定阵的刻画

8.78 证明下列关于 $n$ 阶实对称矩阵 $A = (a_{ij})$ 的命题等价：

（1） $A$ 是半正定阵;
（2）存在主对角元全为 $1$ 的上三角矩阵 $B$ 和主对角元全为非负实数的对角矩阵 $D$ ，使得 $A = B’DB$;
（3）存在主对角元全为非负实数的上三角矩阵 $C$ ，使得 $A = C’C$