$§$ 10 双线性型
线性空间的对偶空间是一个重要的概念. 他在后面的专业课程学习以及物理学等领域有着广泛的应用. 通常的高等代数课只讲授数域上的有限维线性空间理论,对无限维线性空间的情形涉及不多,比如一般并不给出无限维线性空间中基的定义及其存在性证明(这需要集合论中的选择公理或 $Zorn$ 引理). 因此除非特意指明,本章大部分例题都在有限维线性空间的范畴中进行讨论. 例如,绿皮书教材给出了 $§§ 10.1.1$ 定理 $6(2)$ 在有限维线性空间情形的证明,但只要建立了无限维线性空间中基的概念及其存在性,同样可证明 $(2)$ 对无限维空间中的基的概念及其存在性,同样可以证明$(2)$ 在无限维线性空间也成立. 然而,只有当 $V$ 是有限维线性空间时,才能有对偶基的存在性推出 $dim V^{*} = dim V$ 成立;当 $V$ 是无限维线性空间时,上述不等式不再成立,并且 $§§ 10.1.1$ 定理 $4$ 中的 $η: V → V^{**}$ 也不再是线性同构. 由于这些结论的证明涉及到集合论和抽象代数的一些理论,故这里也不再展开,有兴趣的可以参考S .Roman. Advanced Linear Algebra(third edition)
10.1
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间(不必假设维数有限), $f,g$ 是 $V$ 上的非零线性函数,求证: $f$ 和 $g$ 线性相关的充要条件是 $Kerf = Kerg$
10.2
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间,$f$ 和 $g$ 是 $V$ 上的非零线性函数. 求证: 若 $f,g$ 线性无关,则对任意的 $v ∈ V$，存在分解 $v = u + w$ ,使得 $f(v) = f(w),g(v) = g(u)$
注意: 由例题 $10.2$ 的证明方法不难得到例题 $10.1$ 在有限维线性空间情形的另一证明，请大家自行补充
10.3
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$U$ 是 $V$ 的非平凡子空间，求证：必存在 $V$ 上的线性函数 $f_{i}(1 ≤ i ≤ r)$ ,使得 $U = \mathop{⋂}\limits_{i=1}^{r} Kerf_{i}$
10.4
设 $U,V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间(不必假设维数有限),$U^{},V^{}$ 分别是他们的共轭空间. 求证: $$ U^{}⊕V^{} ≅ (U⊕V)^{*} $$
10.5
设 $V_{1}$ 是线性空间 $V$ (不必假设维数有限)的子空间,记 $$ V_{1}^{⟂} = {f ∈ V^{} | <f,V_{1}> = 0} $$ 求证: $V_{1}^{⟂}$ 是 $V^{}$ 的子空间,且若 $V_{2}$ 是 $V$ 的另外一个子空间,则
$$ V_{1}^{⟂} ⋂ V_{2}^{⟂} = (V_{1} + V_{2})^{⟂} $$
10.6
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}$ 是 $V$ 的子空间,求证: $$ dimV = dimV_{1} + dimV_{1}^{⟂} $$
10.7
设 $V_{1},V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间,将 $V$ 看成是 $V^{*}$ 的对偶空间. 求证: $$ (V_{1}^{⟂})^{⟂} = V_{1}, (V_{1} ∩ V_{2})^{⟂} = V_{1}^{⟂} + V_{2}^{⟂} $$
10.8
设 $φ$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换,$φ^{}$ 是 $φ$ 的对偶变换,求证: $$ Im φ^{} = (Kerφ)^{⟂} $$
注意: 例题 $10.8$ 的证法 $2$ 的好处是,证明 $Kerφ = (Imφ^{})^{⟂}$ 的过程不涉及维数的有限性,从而这一结论在无限维线性空间的情形依然成立 (此时需要无限维线性空间基的存在性). 然而 $Imφ^{} = (Kerφ)^{⟂}$ 这一结论一般不能直接推广到无限维线性空间的情形,但在一些特殊情况下可以推广,我们来看下面的例题
10.9
设 $φ$ 是线性空间 $V$ (不要求是有限维) 上的幂等线性变换(即 $φ^{2} = φ$), $φ^{}$ 是 $φ$ 的对偶变换,求证: $$ Im φ^{} = (Kerφ)^{⟂} $$
10.10
设 $φ$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换,$V_{1}$ 是 $V$ 的子空间,求证:$V_{1}$ 是 $φ$ 的不变子空间的充要条件是 $V_{1}^{⟂}$ 是 $φ^{*}$ 的不变子空间
注意: 设 $V$ 是线性空间(不要求是有限维),V_{1} 是 $V$ 的子空间,若承认无限维线性空间基的存在性,则可以进一步证明对任一 $v ∉ V_{1}$ ,存在 $f ∈ V_{1}^{⟂}$ ,使得 $f(v) ≠ 0$. 如果有了这一结论. 则例 $10.10$ 的结论对无限维线性空间也成立
10.11
设 $V,U$ 是 $\mathbb{F}$ 上的有限维线性空间,$φ$ 是 $V → U$ 的线性映射. 求证: 若将 $V$ 与 $V^{}$ ,$U$ 与 $U^{}$ 看成是互为对偶的空间,则 $(φ^{})^{} = φ$
10.12
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间,则对任一固定的 $u ∈ V, (u,-)$ 是 $V$ 上的线性函数. 作映射 $η: V → V^{*},η(u) = (u,-)$ .证明:
(1) $η$ 是线性同构,特别地,若将 $u$ 与 $(u,-)$ 等同起来,则 $<u,v> = (u,v)$ ,即可将 $V$ 看成是自身的对偶空间;
(2) $V$ 的任一组标准正交基 $e_{1},e_{2},⋯,e_{n}$ 的对偶基是其自身;
(3) $V$ 上任一线性变换 $φ$ 的对偶变换就是 $φ$ 的伴随.
$§10.3$ 双线性型与纯量积
10.13
设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型,若 ${u_{i}},{v_{i}}(1 ≤ i ≤ n)$ 分别是 $U,V$ 的基,使得 $g(u_{i},v_{i}) = δ_{ij}$ ,则称 ${u_{i},v_{i}}$ 是关于 $g$ 的对偶基. 设 $φ$ 是 $V$ 上的线性变换,$φ^{}$ 是 $φ$ 关于 $g$ 的对偶变换. 若 $φ$ 在基 ${v_{i}}$ 下的表示矩阵为 $A$,求证:$φ^{}$ 在基 ${u_{i}}$ 下的表示矩阵为 $A'$
10.14
设 $g$ 是 $U,V$ 上的非零双线性型,证明:必存在 $U,V$ 的子空间 $U_{0},V_{0}$ ,使得 $g$ 在 $U_{0},V_{0}$ 上的限制是非退化的双线性型. 且 $$ dimU_{0} = dimV_{0} = dimU - dimL $$ 其中 $L$ 是 $g$ 的左根子空间
10.15
设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型,$φ,ψ$ 是 $V$ 上的线性变换,求证:
(1)$(kφ + lψ)^{} = kφ^{} + lψ^{*}$,其中 $k,l$ 是常数;
(2)$(ψφ)^{} = φ^{}ψ^{*}$;
(3)若 $φ$ 是 $V$ 的自同构,则 $φ^{}$ 是 $U$ 的自同构,此时 $(φ^{})^{-1} = (φ^{-1})^{*}$
(4)$(φ^{})^{} = φ$
注意:本题也可以用例题 $10.13$ 的结论来证明
10.16
设 $g,h$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的秩相同的纯量积,求证:必存在 $V$ 上的可逆线性变换 $φ,ψ$ ,使得 $h(x,y) = g(φ(x),ψ(y))$ 对一切 $x,y ∈ V$ 成立
10.17
设 $W = U ⊕ V$ ,$g$ 是 $U$ 上的纯量积,$h$ 是 $V$ 上的纯量积. 现定义 $W$ 上的纯量积 $q$ 如下: $$ q(x+y,u+v) = g(x,u) + h(y,v), $$ 其中 $x,u∈U, y,v∈V$ 求证:
(1)若 $g,h$ 非退化,则 $q$ 也非退化;
(2)若 $g,h$ 是对称型(交错型),则 $q$ 也是对称型(交错型);
(3)若 ${u_{i}}∪{v_{i}}$ 分别是 $U$ 和 $V$ 的基,且 $g,h$ 在两组基下的表示矩阵分别为 $A,B$,则 $q$ 在 $W$ 的基 ${u_{i}} ∪ {v_{i}}$ 下的表示矩阵为分块对角矩阵 $diag{A,B}$
10.18
设 $V$ 是由 $n$ 阶实矩阵全体构成的欧氏空间(取 $Frobenius$ 内积),则 $Frobenius$ 内积 $(-,-)$ 是 $V$ 上的非退化对称型. 设 $A_{1},⋯,A_{n^{2}}$ 是 $V$ 的一组基,$B_{1},⋯,B_{n^{2}}$ 是其对偶基,即满足 $(A_{i},B_{j}) = δ_{ij}(1≤i,j≤n^{2})$. 求证: $$ ∑\limits_{i=1}^{n^{2}} A_{i}B_{i} = I_{n} $$
10.19
设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称型或交错型,$U$ 是 $V$ 的子空间,求证:$U ∩ U^{⟂} = 0$ 的充要条件是 $g$ 限制在 $U$ 上是一个非退化的纯量积,这时有直和分解 $V = U⊕U^{⟂}$
$§$10.4 交错型和辛几何
10.20 设 $h$ 是三维线性空间 $V$ 上的非零交错型,求证:存在 $V$ 上的线性函数 $f,g$ ,使得对任意的 $x,y ∈ V$ 有 $h(x,y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)$
我们可以通过下面一道例题来看一下如何求出辛空间的一组辛基
10.21
设四维辛空间 $(V,g)$ 在一组基 ${e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ 下的表示矩阵为 $$ A = \begin{pmatrix} 0&2&-1&3\\ -2&0&4&-2\\ 1&-4&0&1\\ -3&2&-1&0 \end{pmatrix} $$ 求 $V$ 的一组辛基
10.22
设 $(V,g)$ 是辛空间, $φ$ 是 $V$ 上的辛变化,$φ$ 在一组辛基下的表示矩阵称为辛矩阵. 令 $A = diag{S,⋯,S}$, 其中 $S = \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} $ 求证:$n$ 阶方阵 $T$ 是辛矩阵的充要条件是 $T’AT = A$. 特别地,辛变换的行列式值等于 $1$ 或 $-1$
注意:由例题 $9.134$ 可知实辛空间 $(V,g)$ 上的辛变换 $φ$ 的行列式值等于 $1$ ,请读者自行思考其中的原因
10.5 对称型与正交几何
10.23
设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的非退化对称型,$φ$ 是 $V$ 上的正交变换,求证:$det φ = ±1$
10.24
设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的非退化对称型,$φ$ 是 $V$ 上的线性变换,求证: $φ$ 是正交变换的充要条件是 $φ^{*}φ = I$
10.25
设 $V$ 是双曲平面,$φ$ 是 $V$ 上的正交变换且 $detφ = -1$ ,求证: $φ$ 是镜像变换
10.26
设 $g$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的非退化对称型,$g$ 的正惯性指数为 $p$ ,负惯性指数为 $q$. 假设 $W$ 是 $V$ 的极大全迷向子空间,求证:$dim W = min{p,q}$
10.27
设 $V = U_{1}⊕U_{2}⊕⋯⊕U_{r}$ ,若 $U_{i} ⟂ U_{j}$ 对一切 $i ≠ j$ 成立,则称 $V$ 是 $U_{i}$ 正交直和,记为 $V = U_{1} ⟂ U_{2} ⋯ ⟂ U_{r}$.现假设 $$ V = U_{1} ⟂ U_{2} ⟂ ⋯ ⟂U_{r} = V_{1} ⟂ V_{2} ⟂ ⋯ ⟂V_{r} $$ 若存在保距同构 $φ_{i}:U_{i} → V_{i}(1≤i≤r)$,求证:存在 $V$ 上的线性变换 $φ$ ,使之在每个 $U_{i}$ 上的限制就是 $φ_{i}$
10.28
设 $g$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的非退化对称型,$φ$ 是 $V$ 上的正交变换,$V_{1} = {x ∈ V | φ(x) = x}$. 求证:$V_{1}$ 是子空间且 $dimV = dimV_{1} + dim(I-φ)V$
10.29
设 $V$ 是 $n$ 维欧式空间,$g$ 是 $V$ 上的一个对称型. 满足$g(u,u) = 0$ 的非零向量 $u$ 称为迷向向量. 求证:$V$ 存在一组由迷向向量组成的标准正交基的充要条件是 $g$ 在 $V$ 的某一组标准正交基下的表示矩阵的迹等于零
10.30
设四维实空间 $V$ 上定义了一个对称型 $g$,在基 ${e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ 下的表示矩阵为 $$ A = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&&0&-1 \end{pmatrix} $$ 上述空间 $V$ 称为 $Minkowski$ 空间. $V$ 中适合 $g(α,α) > 0$ 的向量 $α$ 称为空间向量;适合 $g(α,α) < 0$ 的向量称为时间向量;适合 $g(α,α) = 0$ 的非零向量称为光向量.证明:
(1)$V$ 中任意两个时间向量不可能互相正交;
(2)$V$ 不可能正交于一个光向量;
(3)$V$ 中两个光向量正交的充要条件是 它们线性相关.
终于搞定了!