$§$ 9.10 复正规算子与复正规矩阵
酉空间 $V$ 上的线性变换 $φ$ 是正规算子的充要条件是存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $φ$ 在这组基下的表示矩阵为对角矩阵. 酉变换、$Hermite$ 变换以及斜 $Hermite$ 变换都是正规算子的常见例子. 本节将给出酉空间 $V$ 上的线性变换 $φ$ 是正规算子其他几个充要条件，以及复正规矩阵的一些性质等.
9.91 设 $φ$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 对 $V$ 中任意的向量 $\alpha$ ，都有 $||φ(α)|| = ||φ^{*}(α)||$.
9.92 设 $φ$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 若 $v$ 是 $φ$ 属于特征值 $λ$ 的特征向量，则 $v$ 也是 $φ^{*}$ 属于特征值 $\overline{λ}$ 的特征向量.
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在绿皮书教材中，我们采用了如下证法：$φφ^{} = φ^{}φ ⇒ 例题9.91的充分条件 ⇒ 例题9.92的充分条件 ⇒ φ 在一组标准正交基下的表示矩阵是对角矩阵 ⇒ φφ^{} = φ^{}φ$ 因此在这个意义下，例题 $9.91,9.92$ 其实是自然的推论
9.93 设 $φ$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 对 $φ$ 的任一特征值 $λ_{0}$ ，都有 $V = Ker(φ - λ_{0}I_{V}) ⟂ Im(φ - λ_{0}I_{V})$
9.94 设 $φ$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 正规算子的充要条件是 $φ = φ_{1} + iφ_{2}$ ，其中 $φ_{1,2}$ 是自伴随算子 $φ_{1}φ_{2} = φ_{2}φ_{1}$
9.95 设 $V$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 存在某个复系数多项式 $f(x)$ ，使得 $φ^{*} = f(φ)$
9.96 设 $V$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 $φ = ωψ$ 其中 $ω$ 是酉算子，$ψ$ 是半正定自伴随算子，且 $ω$ 与 $ψ$ 乘法可交换
9.97
设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶复矩阵，$λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}$ 是其特征值，求证： $$ ∑\limits_{i=1}^{n} |λ_{i}|^{2} ≤ ∑\limits_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^{2} $$ 且等号成立的充要条件是 $A$ 为正规矩阵
下面我们来看9.97三个应用
9.98 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶复矩阵，$λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}$ 是其特征值，求证：
$$ ∑\limits_{i=1}^{n} |λ_{i}|^{2} = \mathop{inf}\limits_{detX ≠ 0} ||X^{-1}AX||{F}^{2} \tag{9.14} $$ 其中 $||⋅||{F}$ 表示由复矩阵的 $Frobenius$ 内积诱导的范数
9.99 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶实矩阵，特征值 $λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}$ 是实数，求证：
$$ ∑\limits_{i=1}^{n}λ_{i}^{2} ≤ ∑\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2} $$ 且等号成立的充要条件 是 $A$ 为对称矩阵.