9.11 实正规算子与实正规矩阵

$§$ 9.11 实正规算子与实正规矩阵

欧式空间上的正规算子或实正规矩阵理论要比酉空间上的正规算子或复正规算子理论要复杂，原因在于并不是每个实矩阵都有实特征值及实特征向量. 通常可以有多种方法得到实正规矩阵的正交相似标准型理论，例如在 $§9.9$ 中间，我们已经通过实数版本的 $Schur$ 理论（例题9.87）和正规矩阵的性质证明了其正交相似标准型理论，这是一个代数的证明. 在绿皮书教材中，通过极小多项式诱导的空间直和分解以及极小多项式为二次多项式的实正规算子的研究给出了其正交相似标准型理论，这是一个几何的证明. 事实上，我们还可以通过数学归纳法给出实正规矩阵正交相似标准型理论的直接证明，其中最关键的技巧是例题 $9.86$ ，即当 $A$ 没有实特征值时，亦可构造它的二维不变子空间来运用归纳假设。

9.90

下面我们将给出欧氏空间中的线性变换是实正规算子的几个充要条件，并且和复正规算子进行一些比较

9.103

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，求证；$φ$ 是正规算子的充要条件是 对 $V$ 上的任意向量 $α$ ，都有 $||φ(α)|| = ||φ^{*}(α)||$ .

9.104

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 对任意的两个向量 $α,β$ ，若 $φ(α) = aα - bβ$ 且 $φ(β) =bα + aβ $ （其中 $a,b$ 为实数），则必有 $φ^{}(α) = aα + bβ$ 且 $φ^{}(β) = -bα + aβ$

9.105

设 $φ$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 $φ = φ_{1} + φ_{2}$ ，其中 $φ_{1}$ 是自伴随算子，$φ_{2}$ 是斜对称算子，且 $φ_{1}φ_{2} = φ_{2}φ_{1}$

9.106

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 存在某个实系数多项式 $g(x)$ ，使得 $φ^{*} = g(φ)$

9.107

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 $φ = ωψ$ 。其中 $ω$ 是正交算子，$ψ$ 是半正定自伴随算子，且 $ωψ = ψω$

9.108

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正规算子，其极小多项式为 $g(x) = (x-a)^{2} + b^{2}$ ，其中 $b ≠ 0$ ，求证：$φ$ 是 $V$ 上的自同构且 $φ^{*} = (a^{2} + b^{2})φ^{-1}$

9.109

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正规算子，$ψ$ 是 $V$ 上的某一线性算子，满足 $φψ = ψφ$ ，求证：$φ^{}ψ = ψφ^{}$

9.110

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的非零线性变换，求证；$φ$ 保持向量的正交性不变的充要条件是 存在正整数 $k$ ，使得 $φ^{*}φ = kI_{V}$

例题9.110的结论还可以推广到酉空间的情形，相关细节留给大家自行补充了。此外还可以利用例题 $9.110$ 证明例题 $9.93$ 的实正规算子版本

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9.111

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，$g(x)$ 是 $φ$ 的极小多项式，求证；$φ$ 是正规算子的充要条件是 对于 $g(x)$ 的任一不可约因式 $g_{i}(x)$ ，以下两个条件都成立

（1） $V = Ker g_{i}(φ) ⟂ Img_{i}(φ)$;

（2）任取 $Kerg_{i}(φ)$ 中两个正交的向量 $α,β$ ，则 $φ(α)$ 与 $φ(β)$ 也正交

9.112

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是斜对称算子（即 $φ^{*} = -φ$）的充要条件是 对任意的向量 $v,φ(v)$ 与 $v$ 都正交

注意：例题 $9.112$ 对酉空间就不成立了，请读者自行思考其中的原因（参考例题 $9.10$）

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在前面我们已经看到不变子空间对研究正规算子的重要意义，接下去的例题 $9.113$ 是关于正规算子不变子空间的最重要的结论，其中对实对称算子不变子空间的证明虽然比较复杂，但其方法在前面的例题中已经使用过多次，相信读者是不会陌生的

9.113

设 $φ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的正规算子，$U$ 是 $φ$ 的不变子空间. 求证：$U$ 也是 $φ^{*}$ 的不变子空间，从而 $φ$ 在 $U$ 上的限制仍然是一个正规算子