$§$ 9.2 内积空间与 $Gram$ 矩阵
如果实线性空间（或复线性空间） $V$ 上附加了一个满足对称性（或共轭对称性）、第一变量的线性以及正定性的二元计算(-,-)，则这个二元运算就被称为 $V$ 上的内积，而带有内积结构的实线性空间（或复线性空间） $V$ 就被称为实内积空间（复内积空间）. 我们可以把线性空间 $V$ 看成是底空间，而把内积看成是附加在 $V$ 上的度量结构，因此 $V$ 的维数和基，以及 $V$ 上的线性变换等都是由底空间的线性结构诱导出来的. 本章将重点阐述的是，在添加了内积结构以后，$V$ 和 $V$ 上的线性变换具有的进一步的性质以及相关的应用等.
下面的例题给出了常见线性空间上的内积结构.
9.1 证明下列线性空间在给定的二元运算下成为内积空间
（1）设 $V = \mathbb{R}^{n}$ 为 $n$ 维实列向量空间，$G$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，对任意的 $α,β ∈ V$ ，定义 $(α,β) = α’Gβ$；
（2）设 $V = \mathbb{R}{n}$ 为 $n$ 维实行向量空间，$G$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，对任意的 $α,β ∈ V$ ，定义 $(α,β) = αGβ$’；
（3）设 $V = \mathbb{C}^{n}$ 为 $n$ 维复列向量空间，$H$ 为 $n$ 阶正定 $Hermite$ 矩阵，对任意的 $α,β ∈ V$ ，定义 $(α,β) = α’Hβ$；
（4）设 $V = \mathbb{C}{n}$ （这里白皮书上写成了$C^{n}$ 我就改过来了） 为 $n$ 维复行向量空间，$H$ 为 $n$ 阶正定 $Hermite$ 矩阵，对任意的 $α,β ∈ V$ ，定义 $(α,β) = αH\overline{β}’$；
（5）设 $V = C[a,b]$ 为闭区间 $[a,b]$ 上连续函数全体构成的实线性空间，对任意的 $f(t)g(t) ∈ V$ ，定义 $(f(t)g(t)) = ∫_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ ；
（6）设 $V = \mathbb{R}[x]$ 为实系数多项式全体构成的实线性空间，对任意的 $f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n},g(x) = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{m}x^{m} $ ，定义 $(f(x)g(x)) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{k}b^{k}$ ，其中 $k = min{n,m}$；
（7）设 $V = M_{n}(\mathbb{R})$ 为 $n$ 阶实矩阵全体构成的实线性空间，对任意的 $A = (a_{ij}),B = (b_{ij}) ∈ V$ ，定义 $(A,B) = tr(AB’) = ∑_{i,j = 1}^{n}a_{ij}b_{ij}$ ；
（8）设 $V = M_{n}(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶复矩阵全体构成的复线性空间，对任意的 $A = (a_{ij}),B = (b_{ij}) ∈ V$ ，定义 $(A,B) = tr(A\overline{B}’) = ∑_{i,j = 1}^{n} a_{ij}\overline{b_{ij}}$
内积空间 $V$ 中的向量 $α$ 的范数（长度）定义为 $||α|| = (α,α)^{\frac{1}{2}}$ ，因此由内积空间的正定性可得范数的正定性，即 $||α|| > 0$ ，且等号成立 当且仅当 $α = 0$ . $§§ 9.1.1 $ 定理 $7$ 还给出了范数其他重要的性质，例如 $Cauchy-Schwarz$ 不等式和三角不等式等. 作为内积正定性的另一个应用，我们有如下简单实用的技巧.
9.2 设 $V$ 为内积空间，求证：
（1）若 $(α,β) = 0$ 对任意的 $β ∈ V$ 都成立，则 $β = 0$;
（2）设 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 是 $V$ 的一组基，若 $(α,e_{i}) = (β,e_{i})$ 对任意的 $i$ 都成立，则 $α = β$.
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注：由实内积的对称性可推出第二变量的线性，然而复内积的共轭对称性只能推出第二变量的共轭线性，这是实内积与复内积的区别之一，请大家注意. 因为实数的共轭等于自身，所以实内积空间的定义相容于复内积空间的定义. 因此在后面很多例题的叙述和解答的过程中，除非题目自己标明是哪一类内积空间，否则我们一般都要按照复内积空间的情形来解答
设 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 是内积空间 $V$ 的一组基令 $g_{ij} = (e_{i},e_{j})$ 则 $G = (g_{ij}){n×n}$ 称为内积空间 $V$ 关于基 ${e{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 的 $Gram$ 矩阵或度量矩阵. 设 $α,β \in V$ 在上述基下的坐标向量分别为 $x,y$ ，则有
$$ (α,β) = \begin{cases} x’Gy & (此时 V 为欧氏空间)\ x’G\overline{y} & (此时 V 为酉空间) \end{cases} \tag{9.2} $$
进一步，由内积的对称性（共轭对称性）和正定性可知 $G$ 是正定实对称矩阵（正定 $Hermite$ 矩阵）. 于是 $V$ 上的一个内积结构对应于一个 $n$ 阶正定实对称矩阵（$n$ 阶正定 $Hermite$ 矩阵）$G$ 按照（9.2）式可以定义 $V$ 上的一个内积结构（验证方法与例题9.1（1）和（3）类似）. 因此，若取定 $n$ 维实（复）线性空间 $V$ 上的一组基，则 $V$ 上的内积结构全体与 $n$ 阶正定实对称矩阵（$n$ 阶正定 $Hermite$ 矩阵）全体之间存在一个一一对应. 正是在这个意义下，线性空间上的内积结构的研究等价于 $Gram$ 矩阵的研究，即等价于正定实对称矩阵（正定 $Hermite$ 矩阵）的研究，这也是我们在第8章研究正定阵的重要原因.
我们也可以考虑另一个方向的问题：若取定 $n$ 维实（复）线性空间 $V$ 上的一种内积结构，使之成为实（复）内积空间，那么不同基的 $Gram$ 矩阵之间会有怎样的关系呢？下面的例题告诉我们，他们之间是合同（复相合）的关系
9.3 设 $V$ 为 $n$ 维内积空间， ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 和 ${f_{1},f_{2},⋯,f_{n}}$ 分别是 $V$ 的两组基. 设基 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 的 $Gram$ 矩阵为 $G$ ，基 ${f_{1},f_{2},⋯,f_{n}}$ 的 $Gram$ 矩阵为 $H$ ，从基 ${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 到基 ${f_{1},f_{2},⋯,f_{n}}$ 的过渡矩阵为 $C$ ，求证：若 $V$ 为欧氏空间，则 $H = C’GC$ ;若 $V$ 为酉空间，则 $H = C’G\overline{C}$
9.4 设 $V$ 是 $n$ 维实（复）内积空间，$H$ 是一个 $n$ 阶正定实对称矩阵（正定 $Hermite$ 矩阵）. 求证: 必存在 $V$ 上的一组基 ${f_{1},f_{2},⋯,f_{n}}$ ，使得它的 $Gram$ 矩阵就是 $H$
例题9.4 告诉我们，若给定一个 $n$ 维实（复）内积空间 $V$ ，则从 $V$ 所有的基构成的集合到所有 $n$ 阶正定实对称矩阵（$n$ 阶正定 $Hermite$ 矩阵）构成的集合有一个满映射，它将 $V$ 的一组基映为这组基的 $Gram$ 矩阵. 这个映射当然不会是单映射，请大家自己思考其中的原因
$Gram$ 矩阵的概念还可以推广到内积空间中的任一向量组，我们来看下列例题（酉空间）
9.5 设 $v_{1},v_{2},…,v_{m}$ 是欧氏空间 $V$ 中的 $m$ 个向量，矩阵
$$ G = G(v_{1},v_{2},…,v_{m}) = \begin{pmatrix} (v_{1},v_{1}) & (v_{1},v_{2}) & ⋯ & (v_{1},v_{m})\\ (v_{2},v_{1}) & (v_{2},v_{2}) & ⋯ & (v_{2},v_{m})\\ ⋮ & ⋮ & & ⋮\\ (v_{m},v_{1}) & (v_{m},v_{2}) & ⋯ & (v_{m},v_{m}) \end{pmatrix} $$ 称为向量 $v_{1},v_{2},⋯,v_{m}$ 的 $Gram$ 矩阵. 求证：
（1）$G$ 是半正定实对称矩阵；
（2）向量组 $v_{1},v_{2},⋯,v_{m}$ 线性无关当且仅当 $G$ 是正定阵，也当且仅当 $G$ 是可逆矩阵
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向量组 $v_{1},v_{2},⋯,v_{m}$ 的 $Gram$ 矩阵的几何意义是，这 $m$ 个向量张成的平行 $2m$ 面体的体积等于其 $Gram$ 矩阵的行列式的算术平方根（证明可以参考例题9.15）： $$ V( v_{1},v_{2},⋯,v_{m} ) = |G( v_{1},v_{2},⋯,v_{m} )|^{\frac{1}{2}} $$ 特别地，设 $V = \mathbb{R}^{n}$ （取标准内积）， $n$ 阶实矩阵 $A = ( α_{1},α_{2},⋯,α_{m} )$ 为其列分块，则 $G( α_{1},α_{2},⋯,α_{m} ) = A’A$. 于是 $V( α_{1},α_{2},⋯,α_{m} ) = |A’A|^{frac{1}{2}} = abs(|A|)$. 因此，$n$ 阶行列式的绝对值等于其 $n$ 个列向量张成的平行 $2n$ 面体的体积，这就是 $n$ 阶行列式的几何意义
内积的正定性质在前面几道例题以及下面这道例题的证明中都发挥了重要的作用
9.6 证明：在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中两两夹角大于直角的向量个数至多是 $n+1$ 个列向量张成的平行
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注意：设 $ α_{1},α_{2},⋯,α_{n+1} $ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中两两夹角大于直角的 $n+1$ 个向量，利用与例题9.6的证明完全类似的结论还能证明：
（1）$ α_{1},α_{2},⋯,α_{n+1}$ 中任意 $n$ 个向量必定线性无关；
（2）$ α_{1},α_{2},⋯,α_{n+1}$ 中任一向量必定为其余向量的复系数线性组合 大家自己完成证明
利用内积与正定实对称矩阵（$Hermite$ 矩阵）之间的关系，我们可以用代数方法来解决几何问题，也可以用几何方法来解决代数问题，下面是几个例题
9.7 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，${ e_{1},e_{2},⋯,e_{n} }$ 是 $V$ 的一组基，$c_{1},c_{2},⋯,c_{n}$ 是 $n$ 个实数，求证：存在唯一的向量 $α ∈ V$ 使得对任意的 $i$ ，$(α,e_{i}) = c_{i} (1 ≤ i ≤ n)$
提示：注意到等价于如下方程组： $$ \begin{cases} (e_{1},e_{1})x_{1} + (e_{1},e_{2})x_{2} + ⋯ + (e_{1},e_{n})x_{n} = c_{1}\\ (e_{2},e_{1})x_{1} + (e_{2},e_{2})x_{2} + ⋯ + (e_{2},e_{n})x_{n} = c_{2}\\ …\\ (e_{n},e_{1})x_{1} + (e_{n},e_{2})x_{2} + ⋯ + (e_{n},e_{n})x_{n} = c_{n}\\ \end{cases} $$
9.8 设 $V$ 是实系数多项式全体构成实线性空间，任取
$$ f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x_{n}, g(x) = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{m}x_{m} $$ 证明：如下定义的二元运算是 $V$ 上的内积 $$ (f,g) = ∑_{i,j} \dfrac{a_{i}b_{j}}{i+j+1} $$
9.9 设 $A$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：对任意的 $n$ 维实列向量 $x,y$ 有
$$ (x’Ay)^{2} ≤ (x’Ax)(y’Ay) $$
本节的大多数结论都有实和复两个版本，但是实内积空间和复内积空间之间还是有一些差异，可以看下面的例题