$§$ 9.4 伴 随
伴随是内积空间理论中最重要的概念之一. 在处理有关伴随的问题时，除了运用直接验证法以外，也常常运用矩阵方法. 如果线性变换 $φ$ 在一组标准正交基下的表示矩阵为 $A$ ，则其伴随 $φ^{*}$ 在同一组标准正交基下的表示矩阵为 $A’$ （欧氏空间）或 $\overline{A}’$ （酉空间）. 这使得我们能用矩阵来讨论有关问题，例9.23、例9.24和例9.25 就是非常典型的例子. 例9.28 是正规算子及其伴随的基本性质，他在后面有着重要用途
9.23 设 $V$ 是有限维内积空间，$φ,ψ$ 是 $V$ 上的线性变换，$c$ 是常数，求证：
（1）$(φ + ψ) = φ^{} + ψ^{}$; （2）$(cψ)^{} = \overline{c}φ^{} $; （3）$(φ ψ)^{} = φ^{} ψ^{}$; （4）$(φ)^{} = φ$;
（5）若 $φ$ 可逆，则 $φ^{}$ 也可逆，此时 $((φ)^{})^{-1} = (φ^{-1})^{*}$.
9.24 设 $φ$ 是有限维内积空间 $V$ 上的线性变换，求证：若 $φ$ 的全体特征值为 $λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}$ ，则 $φ^{*}$ 的全体特征值为 $\overline{λ_{1}},\overline{λ_{2}},⋯,\overline{λ_{n}}$
9.25 设 $φ$ 是有限维内积空间 $V$ 上的线性变换，$φ$ 的极小多项式为 $g(x)$ ，证明：$φ^{*}$ 的极小多项式为 $\overline{g}(x)$ ，这里 $\overline{g}(x)$ 的系数等于 $g(x)$ 系数的共轭
下面的例题能提供处理内积空间中的相关问题的归纳基础
9.26 设 $φ$ 是内积空间 $V$ 上的线性变换，若 $U$ 是 $φ$ 的不变子空间，求证：$U^{⟂}$ 是 $φ^{*}$ 的不变子空间
9.27 设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$φ$ 是 $V$ 上的正规算子，$α$ 是 $V$ 中的非零向量，求证：$\text{Im} φ^{*} = (\text{Ker} φ)^{⟂}$
9.28 设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$φ$ 是 $V$ 上的正规算子，$α$ 是 $V$ 中的非零向量，求证：$α$ 是 $φ$ 的属于特征值 $λ$ 的特征向量的充要条件是 $α$ 是 $φ^{*}$ 的属于特征值 $\overline{λ}$ 的特征向量.
下面我们来看几个求伴随算子的具体例子.
9.29 设 $V$ 是由 $n$ 阶实矩阵全体构成的欧氏空间（取 $Frobenius$ 内积），$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(A) = PAQ$ ，其中 $P、Q ∈ V$
（1）求 $φ$ 的伴随 $φ^{*}$;
（2）若 $P、Q$ 都是可逆矩阵，求证：$φ$ 是正交算子的充要条件是 $P’P = cI_{n}$ ，$QQ’ = c^{-1}I_{n}$ ，其中 $c$ 是正实数；
（3）若 $P、Q$ 都是可逆矩阵，求证：$φ$ 是自伴随算子的充要条件是 $P’ = ±P$ ，$Q’ = ±Q$ ；
（4）若 $P、Q$ 都是可逆矩阵，求证：$φ$ 是正规算子的充要条件是 $P,Q$ 都是正规矩阵
第二章解答题 $15$
设 $A = (a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，定义函数 $f(A) = \mathop{∑}\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}$ . 设 $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，使得对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ 成立：$f(PAP^{-1}) = f(A)$ . 证明：存在非零常数 $c$ ，使得 $P’P = cI_{n}$
9.30 设 $V$ 是 $n$ 阶实对称矩阵构成的欧氏空间（取 $Frobenius$ 内积）
（1）求出 $V$ 的一组标准正交基；
（2）设 $T$ 是一个 $n$ 阶实矩阵，$V$ 上的线性变换 $φ$ 定义为 $φ(A) = T’AT$，求证：$φ$ 是自伴随算子的充要条件是 $T$ 为对称矩阵或反对称矩阵
有限维内积空间上的线性算子比存在伴随算子，然而下面的例题告诉我们，无限维空间上的线性算子的伴随算子可能不存在. 这一事实也反映了有限维内积空间与无限维内积空间的区别
9.31 设 $U = \mathbb{R}[x]$ ，取例 9.1（6）中的内积. 任取 $f(x),g(x) ∈ U$ ，若设某些系数为零，则可能将它们都写成统一的形式：$f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n}, g(x) = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{n}x^{n}$
（1）线性变换 $φ$ 定义为 $φ(f(x)) = a_{1} + a_{2}x + ⋯ + a_{n}x^{n-1}$ ，试求 $φ$ 的伴随；
（2）线性变换 $φ$ 定义为 $φ(f(x)) = a_{0} + a_{1}(1+x) + a_{2}(1+x+x^{2}) + ⋯ + a_{n}(\mathop{∑}\limits_{i=0}^{n}x^{i})$ ，求证： $φ$ 的伴随不存在；