9.5 保积同构、正交变换和正交矩阵

$§$ 9.5 保积同构、正交变换和正交矩阵

设 $φ: V → U$ 是内积空间之间的线性同构，若 $φ$ 保持内积，则称为保积同构. 若两个线性空间之间存在线性同构，则他们具有相同的线性结构，从而在考虑线性问题时可将它们等同起来. 同理，若两个内积空间之间存在保积同构，则它们具有相同的内积结构，从而在考虑内积问题时也可将他们等同起来，这也是研究保积同构的意义所在. 本节将从 $4$ 个方面研究保积同构的性质及其作用

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1. 保积同构和几何问题代数化

在欧式空间（酉空间） $V$ 中取定一组标准正交基，容易验证将任一向量映射为它在这组基下的坐标向量的线性同构 $φ: V → \mathbb{R}^{n} (φ: V → \mathbb{C}^{n})$ 实际上也是一个保积同构. 因此我们可以把抽象的欧式空间（酉空间）$V$ 上的问题转化为具体的取标准内积的列向量空间 $\mathbb{R}^{n} (\mathbb{C}^{n})$ 上的问题来解决，这就是内积空间版本的“几何问题代数化”技巧（线性空间的版本请参考 $§3.4$ ）. 我们来看这一技巧的两个应用

9.32 设 $V$ 是 $n$ 维欧式空间，$α_{1},α_{2},⋯,α_{n},β_{1},β_{2},⋯,β_{n} ∈ V$ ，证明：若存在非零向量 $α ∈ V$ ，使得 $\mathop{∑}\limits_{i=1}^{n}(α,α_{i})β_{i} = 0$ ，则存在非零向量 $β ∈ V$ ，使得 $\mathop{∑}\limits_{i=1}^{n}(β,β_{i})α_{i} = 0$

9.33 设 $V$ 是 $n$ 维欧式空间，${α_{1},α_{2},⋯,α_{m}}$ 是一组向量，$G = G(α_{1},α_{2},⋯,α_{m})$ 是其 $Gram$ 矩阵，求证：$r(α_{1},α_{2},⋯,α_{m}) = r(G)$

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2. 保积同构的判定及其应用

下面是保积同构的几个例子

9.34 试着构造下列内积5空间之间的保积同构：

（1）$M_{n}(\mathbb{R})$ （取 $Frobenius$ 内积）与 $\mathbb{R}^{n^{2}}$ （取标准内积）；

（2）$M_{n}(\mathbb{C})$ （取 $Frobenius$ 内积）与 $\mathbb{C}^{n^{2}}$ （取标准内积）；

（3）$V = \mathbb{R}[x]$ （取 $[0,1]$ 区间内的积分内积）与 $U = \mathbb{R}[x]$ （取例题$9.1(6)$ 中的内积）；

9.35 设 $U,V$ 都是 $n$ 维欧式空间，${e_{1},e_{2},⋯,e_{n}}$ 和${f_{1},f_{2},⋯,f_{n}}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 的一组基（不一定是标准正交基），线性映射 $φ : V → U$ 满足 $e_{i} = f_{i}(1 ≤ i ≤ n)$ . 求证：$φ$ 是保积同构的充要条件是 这两组基的 $Gram$ 矩阵相等，即

$$ G(e_{1},e_{2},⋯,e_{n}) = G(f_{1},f_{2},⋯,f_{n}) $$

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接下来我们考虑例题 $9.15$ 关于向量组的推广，我们已经知道向量组 $Gram$ 矩阵的许多性质，而下面的例题告诉我们 $Gram$ 矩阵不仅决定了向量之间的内积关系，也决定了向量之间的线性关系

9.36 设 $V$ 是 $n$ 维欧式空间，${α_{1},α_{2},⋯,、α_{m}}$ 是一组向量，$G = G{α_{1},α_{2},⋯,α_{m}}$ 是其 $Gram$ 矩阵.

（1）求证：${α_{i_{1}},α_{i_{2}},⋯,α_{i_{r}}}$ 是极大无关组的充要条件是 $G$ 的第 $i_{1},i_{2},⋯,i_{r}$ 行和列构成的主子式非零，且对任意的 $i ≠ i_{1},i_{2},⋯,i_{r}$ ，$G$ 的第 $i_{1},i_{2},⋯,i_{i},i$ 行和列构成的主子式等于零.

（2）$R = { (c_{1},c_{2},⋯,c_{m})’ ∈ \mathbb{R}^{m}| c_{1}α_{1} + c_{2}α_{2} + ⋯ + c_{m}α_{m} = 0 } $ 称为向量组 ${α_{1},α_{2},⋯,、α_{m}}$ 的线性关系集合，容易验证他是 $\mathbb{R}^{m}$ 的线性子空间，求证：$R$ 是线性方程组 $Gx = 0$ 的解空间.

（3）设 ${α_{1},α_{2},⋯,α_{m}}$ 线性无关，${γ_{1},γ_{2},⋯,γ_{m}}$ 是由 $Gram-Schmidt$ 方法得到的标准正交向量组. 设上述两组向量之间的线性关系由可逆矩阵 $P$ 定义，即 ${γ_{1},γ_{2},⋯,γ_{m} = (α_{1},α_{2},⋯,α_{m})P}$ 求证：$P$ 由 $G$ 唯一确定

9.37 设 ${α_{1},α_{2},α_{3},e_{4}}$ 是欧式空间 $V$ 中的向量，其 $Gram$ 矩阵为 $G = A’A$ ，其中

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 3\\ 1 & 1 & -1 & 3\\ 1 & 7 & 11 & 9\\ 1 & 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} $$ 试求 ${α_{1},α_{2},α_{3},α_{4}}$ 的一组极大无关组，以及由这一极大无关组通过 $Gram-Schmidt$ 方法得到的标准正交向量组

9.38 设 $V,U$ 都是 $n$ 维欧式空间，${α_{1},α_{2},⋯,α_{m}}$ 和 ${β_{1},β_{2},⋯,β_{m}}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 中的向量组，证明：存在保积同构 $φ : V → U$ ，使得

$$ φ(α_{i}) = β_{i} (1 ≤ i ≤ m) $$ 成立的充要条件是 这两组向量的 $Gram$ 矩阵相等

例题9.38具有十分明显的几何意义，并且它的证明是构造性的，从而可以用来构造满足某些条件的保积同构. 例题9.37的解法2和例题9.39是两个应用

9.37の解法2

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3. 正交变换和镜像变换

实（复）内积空间 $V$ 上的保积自同构称为正交变换（酉变换），这是内积空间理论中的一个重要的研究对象. 前面关于保积同构的判定准则都适用于正交变换（酉变换），此处利用伴随算子我们还有如下判定准则：线性变换 $φ$ 是正交变换（酉变换） 当且仅当 $φ^{*} = φ^{-1}$ ，当且仅当 $φ$ 在 $V$ 的某一组（任一组）标准正交基下的表示矩阵为正交矩阵（酉矩阵）.

9.39 设 $A,B$ 是 $m × n$ 实矩阵，求证：$A’A = B’B$ 的充要条件是 存在 $m$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $A = QB$

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9.40

（1）设 $v$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 长度为 $1$ 的向量，定义线性变换： $$ φ(x) = x - 2(v,x)v, $$ 证明：$φ$ 是正交变换且 $det φ = -1$;

（2）设 $ψ$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 中的正交变换，$1$ 是 $ψ$ 的特征值且几何重数等于 $n-1$ ，证明：必存在 $V$ 中长度为 $1$ 的向量 $v$ ，使得 $$ φ(x) = x - 2(v,x)v. $$

9.41 设 $n$ 阶矩阵 $M = I_{n} - 2αα’$ ，其中 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 $α’α = 1$ ，这样的 $M$ 称为镜像矩阵. 设 $φ$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证：$φ$ 是镜像变换的充要条件是 $φ$ 在 $V$ 上的某一组（任一组）标准正交基下的表示矩阵为镜像矩阵

9.42 设 $u,v$ 是欧氏空间中两个长度相等的不同向量，求证：必定存在镜像变换 $φ$ ，使得 $φ(u) = v$

9.43 $n$ 维欧式空间中任一正交变换均可表示为不超过 $n$ 个镜像变换之积

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下面是镜像变换的两个应用，首先是关于矩阵 $QR$ 分解的另一个证明

9.13 证法2

9.44 设 $Q$ 为 $n$ 阶正交矩阵，$1$ 不是 $Q$ 的特征值，设 $P = I_{n} - 2α’α$ ，其中 $α$ 是 $n$ 维实列向量且 $α’α = 1$ ，求证：$1$ 是 $PQ$ 的特征值

4. 正交矩阵的性质

正交矩阵的刻画是：$n$ 阶实矩阵 $A$ 为正交矩阵当且仅当 $A$ 的 $n$ 个构成的 $\mathbb{R}_{n}$ （取标准内积）的一组标准正交基，也当且仅当 $A$ 的 $n$ 个列向量构成 $\mathbb{R}^{n}$ （取标准内积）的一组标准正交基. 另外，正交矩阵的行列式值等于 $±1$ ，特征值是模长等于 $1$ 的复数. 下面我们来看一下正交矩阵性质相关的典型问题

9.44の推广 设 $Q$ 为 $n$ 阶正交矩阵，$1$ 不是 $Q$ 的特征值，设 $P $ 为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|P| = -1$ ，求证：$1$ 是 $PQ$ 的特征值

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设正交矩阵 $A = (a_{ij})$ ，则 $A’ = A^{-1} = |A|^{-1}A^{*}$ ，于是 $a_{ij} = |A|^{-1}A_{ij} = ±A_{ij}$ ，其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式. 这个结论还可以推广到下面的命题

9.45

设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，求证：$A$ 的任一 $k$ 阶子式 $ A\begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & ⋯ & i_{k}\\ j_{1} & j_{2} & ⋯ & j_{k} \end{pmatrix} $ 的值等于 $|A|^{-1}$ 乘以其代数余子式的值

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正交矩阵的特征值都等于 $1$ ，这个结论可以做如下推广

9.46 证明：正交矩阵任一 $k$ 阶子阵的特征值的模长都不超过 $1$

9.47 设 $P$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$D = diag{d_{1},d_{2},⋯,d_{n}}$ 是实对角矩阵，记 $m$ 和 $M$ 分别是诸 $|d_{i}|$ 中的最小值和最大值. 求证：若 $λ$ 是矩阵 $PD$ 的特征值，则 $m ≤ |λ| ≤ M$ .

本节所有关于欧式空间和正交矩阵的例题都可以平行推广到酉空间和酉矩阵的情形，我们把所有细节留给大家完成