9.6 用正交变换法化简二次型

$§$ 9.6 用正交变换法化简二次型

设 $f(x) = x’Ax$ 为实二次型，$A$ 为相伴的实对称矩阵，则通过非异线性变换 $x = Py$ 可将 $f(x)$ 化为只含平方项的标准型，然而从几何层面来看，上述处理方法并不理想. 主要原因是在考虑几何对象的分类问题时，所作的线性变换通常都要求保持度量，即在欧式空间中要求保持内积或者范数，因为这对应于两组标准正交基之间的基变换，所以过渡矩阵 $P$ 必须是正交矩阵（更严格地说还可以要求是 $|P| = 1$）. 因此从几何层面来看，我们需要考虑实二次型和实对称矩阵在正交相似变换（也是正交合同）下的标准型. 由实对称矩阵的正交相似标准型理论可知，存在正交矩阵 $P$ ，使得 $$ P’AP = diag(λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}) $$
其中 $λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}$ 是 $A$ 的全体特征值，因此通过正交变换 $x = Py$ 可将 $f(x)$ 化为标准型 $$ λ_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2} + ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2} \tag{9.10} $$ 具体地，用正交变换来化简二次型的步骤是：

（1）写出二次型的系数矩阵 $A$ ，求出 $A$ 的特征值 $λ_{i}$ 及其线性无关的特征向量.

（2）若 $λ_{i}$ 是 $k(k > 1)$ 重特征值，则用 $Gram-Schmidt$ 正交化方法将它的 $k$ 个线性无关的特征向量正交化. 由于属于不同特征值得特征向量必互相正交，故单特征值对应的特征向量不必正交化.

（3）假设已经得到 $n$ 个两两正交的特征向量 $α_{1},α_{2},⋯,α_{n}$ ，令 $β_{i} = \dfrac{α_{i}}{||α_{i}||} (1 ≤ i ≤ n)$ ，则 $β_{1},β_{2},⋯,β_{n}$ 是一组两两正交的单位特征向量. 令 $P = (β_{1},β_{2},⋯,β_{n})$ ，则 $P$ 就是要求的正交矩阵，此时 $P’AP = diag{λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}}$ ，注意 $β_{i}$ 是属于特征值 $λ_{i}$ 的特征向量.

注：如果实二次型中含有未知参数，通常我们先求出这个参数，再按上面的步骤求出正交矩阵. 因为在正交变换过程中，特征值保持不变，所以常常利用特征值的性质确定参数. 比如常用的有：特征值之和等于矩阵的迹；特征值之积等于矩阵对应行列式的值等.

9.48 设实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2bx_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}$ 经过正交变换 $x = Py$ 可化为 $y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$ ，求 $a,b$ 的值和正交矩阵 $P$

如果 $n$ 元实二次型的系数矩阵 $A$ 有 $r$ 重特征根 $λ_{0}$ ，则 $λ_{0}$ 必有 $r$ 个线性无关的特征向量. 因此矩阵 $λ_{0}I_{n} - A$ 的秩为 $n-r$ . 利用这个性质也可决定实二次型中的未知参数. 下面是一个典例

9.49 设实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} + 2ax_{1}x_{2} + 2bx_{1}x_{3} - 8x_{2}x_{3}$ 经过正交变换 $x = Py$ 可化为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + cy_{3}^{2}$ ，求 $a,b,c$ 和正交矩阵 $P$

每个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 都有 $n$ 个两两正交的特征向量. 若已知 $A$ 的部分特征向量，利用这个性质可以求出其余特征向量，从而求出正交矩阵 $P$ 以及 $A$ 自身. 下面的例子可以说明这一点.

9.50 设四阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $0,0,0,4$ 且属于特征值 $0$ 的 线性无关特征向量为 $(-1,1,0,0)’,(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)’$ 求出矩阵 $A$

9.51

设 $A = (a_{ij})$ 为三阶实对称矩阵， $A^{}$ 为 $A$ 的伴随矩阵 $$ f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \begin{vmatrix} x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\\ -x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ -x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ -x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$ 若 $|A| = -12, tr(A) = 1$ ，且 $(1,0,-2)’$ 为线性方程组 $(A^{} - 4I_{3})x = 0$ 的解，试着给出正交变换 $x = Py$ 将 $f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ 化为标准型

8.8 8.9 8.10 8.32 8.33