9.7 实对称矩阵的正交相似标准型

$§$ 9.7 实对称矩阵的正交相似标准型

实对称矩阵的正交相似标准型是一个强有力的工具. 设 $A$ 和 $B$ 正交相似，即存在正交矩阵 $P$ ，使得 $B = P’AP$ ，由于 $P’ = P^{-1}$ ，故 $B$ 和 $A$ 既合同又相似，因此利用正交相似标准型可以得到比一般的合同标准型更加深入的结果. 下面分 $4$ 个方面说明相关内容.

1. 实二次型值得估计以及实对称矩阵特征值的估计

9.52

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其特征值为 $λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯ ≤ λ_{n}$ ，求证：对任意的 $n$ 维实列向量 $α$ ，均有 $$ λ_{1}α’α ≤ α’Aα ≤ λ_{n}α’α $$ 且前一个不等式等号成立的条件是 $α$ 属于特征值 $λ_{1}$ 的特征子空间，后一个不等式等号成立的充要条件 是 $α$ 属于特征值 $λ_{n}$ 的特征子空间