$§$ 9.8 同时合同对角化
本节主要讨论两个涉及实对称矩阵的相关问题. 首先我们用实对称矩阵的正交相似标准型证明例 $9.75$ ，称为同时合同对角化，这一方法是后面讨论的基础，在涉及两个实对称矩阵的问题中特别有用
9.75 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是同阶实对称矩阵，求证：必定存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$ C’AC = I_{n} , C’BC = \text{diag}{λ_{1},λ_{2},⋯,λ_{n}} \tag{9.11} $$ 其中 $λ_{i}$ 是 $A^{-1}B$ 的特征值
9.76 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：
$$ |A + B| ≥ |A| + |B| $$ 等号成立的充要条件是 $n = 1$ 或者当 $n ≥ 2$ 时，$B = O$
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注：例 $9.76$ 也可以通过与例 $8.18,8.45$ 完全类似的操作来得到，具体的细节就留给大家完成. 另外利用摄动法可以将例题 $9.76$ 推广到两个矩阵都是半正定阵的情形. 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，则对任意的正实数 $t$ ，$A + tI_{n}$ 是正定阵，因此由 $9.76$ 这个例题可得 $|A + tI_{n} + B| ≥ |A + tI_{n}| + |B|$ ，令 $t → 0$ 即可得到 $|A + B| ≥ |A| + |B|$ . 当然也可以分情况讨论来证明，若 $|A| = |B| = 0$ ，则结论显然成立；若 $|A| > 0$ 或 $|B| > 0$ ，则 $A$ 或 $B$ 正定，直接利用 $9.76$ 即可得到结论
9.77 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：
$$ |A + B| ≥ 2^{n}|A|^{\frac{1}{2}}|B|^{\frac{1}{2}} $$ 等号成立的充要条件是 $A = B$
注意：$9.77$ 也可以通过摄动法或分类讨论证明，大家自行尝试
9.66 设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是同阶实矩阵，使得 $AB$ 是实对称矩阵，求证：$AB$ 是正定阵的充要条件是 $B$ 的特征值全是正实数
9.67
9.78 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，满足 $A ≥ B$ ，求证：$B^{-1} ≥ A^{-1}$
9.79 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，满足 $A ≥ B$ ，求证：$A^{\frac{1}{2}} ≥ B^{\frac{1}{2}}$
9.80 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $A$ 正定且 $B$ 与 $A - B$ 均半正定，求证：$|\lambda A - B|= 0$ 的所有根全落在 $[0,1]$ 中，并且 $|A| \ge |B|$.
例题 $9.76$ 是一个重要的不等式，下面我们来看它的两个应用
###8.56
###9.81
设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵， $B$ 是 $s \times n$ 实矩阵，又假设他们都是行满秩的. 令 $M = AB’(BB’)^{-1}BA’$，求证：$M$ 和 $AA’ - M$ 都是半正定阵，并且 $|M| \le |AA’|$
例题 $9.75$ 的结论一般并不能推广到一个是半正定另一个是实对称矩阵的情形，例如，
$ A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix} $ ， $ B = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} $
经过计算可知 $A,B$ 不能同时合同对角化，不过下面的命题告诉我们，若 $A,B$ 都是半正定阵，则他们可以同时合同对角化
9.82
设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：存在可逆矩阵 $C$，使得
$$
C’AC = \text{diag}{1,\cdots,1,0,\cdots,0}, C’BC = \text{diag}{\mu_{1},\cdots,\mu_{r},\mu＿{r＋1},\cdots,\mu{n}}
$$
利用例题 $9.82$ 可以给出例题 $9.76,9.77$ 的半正定版本的第三种证法，此外我们再给出例题 $9.82$ 的两个应用
9.83 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：
（1）$A＋B$ 是正定阵的充要条件是存在 $n$ 个线性无关的实列向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ ，以及指标集 $I \subseteq {1,2,\cdots,n}$ ，使得
$$
\alpha_{i}’ A \alpha_{j} = \alpha_{i}’ B \alpha_{j} = 0（\forall i \neq j）, \alpha_{i}’ A \alpha_{i} > 0 （\forall i \in I）, \alpha_{j}’ B \alpha_{j} （\forall j \notin I）;
$$ （2）$r(A:B) = r(A ＋ B)$
9.67
9.84
设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，使得 $ABC$ 是对称矩阵，即满足 $ABC = CBA$ ，求证：$ABC$ 是半正定阵
2025..2.05 马上有些现实原因，我不能继续更新在这个博客上，但是习题解析和下一个分析选解（从数学分析，流形上的微积分，微分几何中选择有代表的题目，因为这些学科中很难找到类似白皮这样适中的习题了）已经想好了，所以接下来我仍会继续写，但等时间合适再更新
祝大家新年快乐，事业顺心！！