$§$ 9.9 $Schur$ 定理
对于一般的复（实）矩阵，我们当然不能期望它酉相似（正交相似）于对角矩阵。但对于复矩阵，我们可以证明它必定酉相似于上三角矩阵，这就是著名的 $Schur$ 定理。下面我们给出一个简洁的的代数证明，其几何证明请参考绿皮书教材
9.85 设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，求证：存在 $n$ 阶酉矩阵 $U$ ，使得 $U^{-1}AU$ 是上三角矩阵
下面我们呢来证明实数域上的 $Schur$ 定理，即例题 $9.87$ . 因为实矩阵的特征值未必都是实数，故任意一个实方阵只能正交相似于分块上三角矩阵，证明也更加复杂一些，首先，我们来讨论实矩阵的复特征值和复特征向量的相关性质.
9.86 设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，虚数 $a+bi$ 是 $A$ 的一个特征值，$u+vi$ 是对应的特征向量，其中 $u,v$ 是实列向量，求证：$u,v$ 必线性无关. 若 $A$ 是正规矩阵，则 $u,v$ 相互正交且长度相同（取实列向量空间的标准内积）
9.87 证明： $n$ 阶实方阵 $A$ 必正交相似于下列分块上三角矩阵：
$$ C = \begin{pmatrix} A_{1} & & & & & \\ &⋱& & & & \\ & &A_{r} & & & \\ & & &c_{1} & & \\ & & & &⋱ & \\ & & & & &c_{k} \end{pmatrix} $$ ,其中 $A_{i}(1 ≤ i ≤ r)$ 是二阶实矩阵且 $A_{i}$ 的特征值具有 $a_{i}+b_{i}i(b_{i} ≠ 0)$ 的形式，$c_{j}(1 ≤ j ≤ k)$ 是实数.
9.88 设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值全是实数，求证：$A$ 正交相似于上三角矩阵
9.89
设 $A,B$ 都是实方阵且分块矩阵 $ \begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix} $ 是实正规矩阵，求证：$C = O$ 且 $A,B$ 也是正规矩阵.
利用例题 $9.87，9.89$ 的结论，可以给出实正规矩阵正交相似的代数证明，它和绿皮书教材中的纯代数证明完全不同
9.90 设 $A$ 是 $n$ 实正规矩阵，求证：存在正交矩阵 $P$ ，使得
$$ P’AP = diag{A_{1},⋯,A_{r},c_{2r+1},⋯,c_{n}} $$