$§0$ 基础
集合语言
$§ 1$ 实数系
$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的稠密性
即 $∀x,y ∈ \mathbb{R}$ and $x < y$ ,then $∃ p ∈ \mathbb{Q} $ ,such that $x < p < y$
hint
如果说在 $x,y$ 中间能找到一个有理数 $p = \frac{m}{n}$ 满足 $x < p=\frac{m}{n} < y$ 不妨扩张一下使得中间数变成整数 $nx < m < ny$ 问题就变成了在两个可以足够大实数中找到一个正数，就简单了 那么根据阿基米德 $Achimedes$ 性质， $$ ∃n∈N^{+}, n(y-x) > 1 $$ 接着我需要找到一个锚定数，最好是与 $m$ 有关的，那么可以对 $nx(ny)$ 进行操作，再次利用阿基米德性质，得到 $-m_{2} < nx < m_{1}$ ，其中 $m_{1,2}$ 为正整数，从而可以进行缩小，最后确定 $m$ 的存在性